画像にある数列の問題を解きます。具体的には、等差数列と等比数列の関係、数列の和の計算（Σの計算）、等比数列の和、そして分数の数列の和を求める問題です。

1. 問題の内容

画像にある数列の問題を解きます。具体的には、等差数列と等比数列の関係、数列の和の計算（Σの計算）、等比数列の和、そして分数の数列の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

(124) 等差数列と等比数列

-4, a, b が等差数列なので、$a - (-4) = b - a$ が成り立つ。整理すると $2a = b - 4$ ...(1)

a, b, -4 が等比数列なので、$b/a = -4/b$ が成り立つ。整理すると $b^2 = -4a$ ...(2)

(1)を(2)に代入すると、

$b^2 = -2(b-4)$

$b^2+2b-8=0$

$(b+4)(b-2)=0$

よって$b=-4$または$b=2$。

問題文より$a,b$は異なるので$b=2$.

(1)に代入すると$2a=2-4$, $a=-1$

(125) 和の計算

(1) $\sum_{k=1}^{n} (4k-5) = 4\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 5 = 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 5n = 2n(n+1) - 5n = 2n^2 + 2n - 5n = 2n^2 - 3n = n(2n - 3)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2+k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1+3)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{2n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(3) 等比数列の和

$\sum_{k=1}^{n} 4 \cdot 3^{k-1} = 4 \sum_{k=1}^{n} 3^{k-1} = 4 \cdot \frac{3^n - 1}{3 - 1} = 4 \cdot \frac{3^n - 1}{2} = 2 (3^n - 1)$

(4) 分数の引き算

$\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{20} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{20} - \frac{1}{21}) = 1 - \frac{1}{21} = \frac{21-1}{21} = \frac{20}{21}$

3. 最終的な答え

(124) $a = -1$, $b = 2$

(125)

(1) $\sum_{k=1}^{n} (4k-5) = n(2n-3)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} 4 \cdot 3^{k-1} = 2(3^n-1)$

(4) $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{20}{21}$