与えられた行列 $Q$ の逆行列 $Q^{-1}$ を求める問題です。行列 $Q$ は $ Q = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $ で与えられます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $Q$ の逆行列 $Q^{-1}$ を求める問題です。行列 $Q$ は

$$

Q = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

$$

で与えられます。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるには、掃き出し法を用いる方法があります。

まず、$Q$ に単位行列 $I$ を並べた拡大行列 $[Q | I]$ を作ります。

$$

[Q | I] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 6 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

$$

次に、この拡大行列に対して行基本変形を行い、$Q$ の部分を単位行列 $I$ に変形します。その際、単位行列だった部分が $Q^{-1}$ になります。

(1) 2行目から1行目を引く: $R_2 \leftarrow R_2 - R_1$

$$

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 6 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -5 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

$$

(2) 2行目に-1をかける: $R_2 \leftarrow -R_2$

$$

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 6 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

$$

(3) 1行目から2行目を引く: $R_1 \leftarrow R_1 - R_2$

$$

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

$$

(4) 3行目から2行目を引く: $R_3 \leftarrow R_3 - R_2$

$$

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & | & -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

$$

(5) 3行目を-1/5倍する: $R_3 \leftarrow -\frac{1}{5} R_3$

$$

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} & -\frac{1}{5} \end{bmatrix}

$$

(6) 1行目から3行目を引く: $R_1 \leftarrow R_1 - R_3$

$$

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{1}{5} & \frac{6}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & 5 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} & -\frac{1}{5} \end{bmatrix}

$$

(7) 2行目から3行目の5倍を引く: $R_2 \leftarrow R_2 - 5R_3$

$$

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{1}{5} & \frac{6}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} & -\frac{1}{5} \end{bmatrix}

$$

したがって、$Q^{-1}$ は

$$

Q^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{6}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} & -\frac{1}{5} \end{bmatrix}

$$

3. 最終的な答え

$$

Q^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{6}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} & -\frac{1}{5} \end{bmatrix}

$$