2つの2次方程式 $x^2 + (a+5)x + 3+a^2 = 0$ と $x^2 - (3-a)x + (a+1)^2 = 0$ がともに実数解を持つような $a$ の値の範囲を求めます。答えは「アイ $\le a \le$ ウ/エ」の形で答えます。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2 + (a+5)x + 3+a^2 = 0$ と $x^2 - (3-a)x + (a+1)^2 = 0$ がともに実数解を持つような $a$ の値の範囲を求めます。答えは「アイ $\le a \le$ ウ/エ」の形で答えます。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの2次方程式が実数解を持つ条件を判別式を用いて求めます。

一つ目の2次方程式 $x^2 + (a+5)x + 3 + a^2 = 0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (a+5)^2 - 4(3+a^2) \ge 0$

$a^2 + 10a + 25 - 12 - 4a^2 \ge 0$

$-3a^2 + 10a + 13 \ge 0$

$3a^2 - 10a - 13 \le 0$

$(3a - 13)(a+1) \le 0$

$-1 \le a \le \frac{13}{3}$

二つ目の2次方程式 $x^2 - (3-a)x + (a+1)^2 = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (3-a)^2 - 4(a+1)^2 \ge 0$

$9 - 6a + a^2 - 4(a^2 + 2a + 1) \ge 0$

$9 - 6a + a^2 - 4a^2 - 8a - 4 \ge 0$

$-3a^2 - 14a + 5 \ge 0$

$3a^2 + 14a - 5 \le 0$

$(3a-1)(a+5) \le 0$

$-5 \le a \le \frac{1}{3}$

2つの不等式 $-1 \le a \le \frac{13}{3}$ と $-5 \le a \le \frac{1}{3}$ を同時に満たす $a$ の範囲を求めます。

数直線を書くと、共通範囲は $-1 \le a \le \frac{1}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$-1 \le a \le \frac{1}{3}$

よって、アイ = -1、ウ = 1、エ = 3 です。

答え: -1 ≤ a ≤ 1/3