与えられた3つの式について、根号をはずして簡単にせよという問題です。 (1) $\sqrt{(2-\pi)^2}$ (2) $\sqrt{a^2b}$ (ただし、$a<0, b>0$) (3) $\sqrt{x^2-2x+1} - \sqrt{x^2+4x+4}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式について、根号をはずして簡単にせよという問題です。

(1) $\sqrt{(2-\pi)^2}$

(2) $\sqrt{a^2b}$ (ただし、$a<0, b>0$)

(3) $\sqrt{x^2-2x+1} - \sqrt{x^2+4x+4}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{(2-\pi)^2}$

$\pi$は約3.14であるから、$2 - \pi < 0$である。よって、

$\sqrt{(2-\pi)^2} = |2-\pi| = -(2-\pi) = \pi - 2$

(2) $\sqrt{a^2b}$ (ただし、$a<0, b>0$)

$\sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} \sqrt{b} = |a| \sqrt{b}$

$a<0$なので、$|a| = -a$

よって、$\sqrt{a^2b} = -a\sqrt{b}$

(3) $\sqrt{x^2-2x+1} - \sqrt{x^2+4x+4}$

$\sqrt{x^2-2x+1} = \sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$

$\sqrt{x^2+4x+4} = \sqrt{(x+2)^2} = |x+2|$

よって、$\sqrt{x^2-2x+1} - \sqrt{x^2+4x+4} = |x-1| - |x+2|$

場合分けを行う。

(i) $x < -2$のとき

$|x-1| = -(x-1) = -x+1$

$|x+2| = -(x+2) = -x-2$

$|x-1| - |x+2| = (-x+1) - (-x-2) = -x+1+x+2 = 3$

(ii) $-2 \le x < 1$のとき

$|x-1| = -(x-1) = -x+1$

$|x+2| = x+2$

$|x-1| - |x+2| = (-x+1) - (x+2) = -x+1-x-2 = -2x-1$

(iii) $1 \le x$のとき

$|x-1| = x-1$

$|x+2| = x+2$

$|x-1| - |x+2| = (x-1) - (x+2) = x-1-x-2 = -3$

3. 最終的な答え

(1) $\pi - 2$

(2) $-a\sqrt{b}$

(3)

$x < -2$のとき、3

$-2 \le x < 1$のとき、$-2x-1$

$1 \le x$のとき、-3