2つの2次方程式 $x^2+(a+5)x+3+a^2=0$ と $x^2-(3-a)x+(a+1)^2=0$ について、片方の2次方程式のみが実数解を持つような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2+(a+5)x+3+a^2=0$ と $x^2-(3-a)x+(a+1)^2=0$ について、片方の2次方程式のみが実数解を持つような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの2次方程式の判別式をそれぞれ $D_1$, $D_2$ とする。

$D_1 = (a+5)^2 - 4(3+a^2) = a^2+10a+25-12-4a^2 = -3a^2+10a+13$

$D_2 = (3-a)^2 - 4(a+1)^2 = 9-6a+a^2-4(a^2+2a+1) = 9-6a+a^2-4a^2-8a-4 = -3a^2-14a+5$

それぞれの判別式について $D_1 \ge 0$ と $D_2 \ge 0$ を解く。

$D_1 \ge 0 \Leftrightarrow -3a^2+10a+13 \ge 0 \Leftrightarrow 3a^2-10a-13 \le 0 \Leftrightarrow (3a-13)(a+1) \le 0 \Leftrightarrow -1 \le a \le \frac{13}{3}$

$D_2 \ge 0 \Leftrightarrow -3a^2-14a+5 \ge 0 \Leftrightarrow 3a^2+14a-5 \le 0 \Leftrightarrow (3a-1)(a+5) \le 0 \Leftrightarrow -5 \le a \le \frac{1}{3}$

片方のみが実数解を持つ条件は、$D_1 \ge 0$ かつ $D_2 < 0$ または $D_1 < 0$ かつ $D_2 \ge 0$ である。

(i) $D_1 \ge 0$ かつ $D_2 < 0$ のとき:

$-1 \le a \le \frac{13}{3}$ かつ $(a<-5$ または $a>\frac{1}{3})$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3} < a \le \frac{13}{3}$

(ii) $D_1 < 0$ かつ $D_2 \ge 0$ のとき:

$(a<-1$ または $a>\frac{13}{3})$ かつ $-5 \le a \le \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow -5 \le a < -1$

したがって、求める $a$ の範囲は $-5 \le a < -1$, $\frac{1}{3} < a \le \frac{13}{3}$

3. 最終的な答え

オカ = -5

キク = -1

ケコ = 1/3

サシ/ス = 13/3