線形写像 $f=T_A$ が与えられており、$f\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} f\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ を満たす。以下の問いに答える。 (1) 行列 $A$ の行数と列数を答えよ。 (2) $\begin{pmatrix} 11 \\ 28 \\ 19 \\ -3 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ が成り立つように $\alpha$ と $\beta$ を求めよ。 (3) $f\begin{pmatrix} 11 \\ 28 \\ 19 \\ -3 \end{pmatrix}$ を求めよ。

1. 問題の内容

線形写像 $f=T_A$ が与えられており、$f\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} f\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ を満たす。以下の問いに答える。

(1) 行列 $A$ の行数と列数を答えよ。

(2) $\begin{pmatrix} 11 \\ 28 \\ 19 \\ -3 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ が成り立つように $\alpha$ と $\beta$ を求めよ。

(3) $f\begin{pmatrix} 11 \\ 28 \\ 19 \\ -3 \end{pmatrix}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f=T_A$ は行列 $A$ による線形変換を表すので、行列 $A$ を掛けるベクトルは3次元ベクトルである。一方、$f$ による像のベクトルも3次元ベクトルである。よって、$A$ は $3 \times 3$ 行列である。

(2) $\begin{pmatrix} 11 \\ 28 \\ 19 \\ -3 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を解く。

各成分について以下の連立方程式を得る。

\begin{align*} \label{eq:1} -4\alpha + 4\beta &= 11 \\ 2\alpha + 3\beta &= 28 \\ \alpha + \beta &= 19 \\ -2\alpha + \beta &= -3 \end{align*}

3番目の式と4番目の式から、

\begin{align*} \alpha + \beta &= 19 \\ -2\alpha + \beta &= -3 \end{align*}

2式を引くと $3\alpha = 22$ より $\alpha = \frac{22}{3}$。$\beta = 19 - \alpha = 19 - \frac{22}{3} = \frac{57-22}{3} = \frac{35}{3}$。

$\alpha = \frac{22}{3}$ と $\beta = \frac{35}{3}$ を1番目の式に代入すると、

$-4(\frac{22}{3}) + 4(\frac{35}{3}) = \frac{-88+140}{3} = \frac{52}{3} \neq 11$ なので誤り。

3番目の式と4番目の式を用いるのではなく、2番目と3番目の式を用いる。

\begin{align*} 2\alpha + 3\beta &= 28 \\ \alpha + \beta &= 19 \end{align*}

2番目の式から $\alpha = 19 - \beta$。これを1番目の式に代入すると、

$2(19-\beta) + 3\beta = 28$ より $38 - 2\beta + 3\beta = 28$。よって $\beta = 28 - 38 = -10$。

$\alpha = 19 - (-10) = 29$。

$\alpha = 29$, $\beta = -10$ を1番目の式に代入すると、

$-4(29) + 4(-10) = -116 - 40 = -156 \neq 11$ なので誤り。

1番目の式と3番目の式を用いる。

\begin{align*} -4\alpha + 4\beta &= 11 \\ \alpha + \beta &= 19 \end{align*}

2番目の式から $\beta = 19 - \alpha$。これを1番目の式に代入すると、

$-4\alpha + 4(19-\alpha) = 11$ より $-4\alpha + 76 - 4\alpha = 11$。よって $-8\alpha = -65$。

$\alpha = \frac{65}{8}$, $\beta = 19 - \frac{65}{8} = \frac{152 - 65}{8} = \frac{87}{8}$。

-4(65/8)+4(87/8)=-65/2+87/2 =22/2 =11

2(65/8) + 3(87/8)=65/4 + 261/8 = 130/8 + 261/8= 391/8= 48.875 !=28

これは写像の定義域が4次元ベクトルではないため、解が存在しない。

しかし、問題文から $\begin{pmatrix} 11 \\ 28 \\ 19 \\ -3 \end{pmatrix}$ というベクトルは存在しないことがわかる。

(3)

$f\begin{pmatrix} 11 \\ 28 \\ 19 \\ -3 \end{pmatrix}$ は求められない。

しかし、もし $\begin{pmatrix} 11 \\ 28 \\ 19 \end{pmatrix}$ について、$\begin{pmatrix} 11 \\ 28 \\ 19 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ であると仮定すると、

$-4\alpha + 4\beta = 11$, $2\alpha + 3\beta = 28$, $\alpha + \beta = 19$ が成立しなくてはならない。

$\alpha + \beta = 19$ より $\alpha = 19 - \beta$

$2(19 - \beta) + 3\beta = 28$

$38 - 2\beta + 3\beta = 28$

$\beta = -10$

$\alpha = 29$

これらを代入して、$-4(29) + 4(-10) = -116 - 40 = -156 \neq 11$ であるので、求めることはできない。

もし $f\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$、$f\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix}$ とおくと、$\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a - d \\ b + 2d \\ c - f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$f\begin{pmatrix} 11 \\ 28 \\ 19 \end{pmatrix} = f(29 \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - 10 \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}) = 29 f\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - 10 f\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = 29\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} - 10 \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix}$

$= 29 \begin{pmatrix} d - 5 \\ -2d + 1 \\ f - 1 \end{pmatrix} - 10 \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19d - 145 \\ -58d + 29 - 10e \\ 29f - 29 - 10f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19d - 145 \\ -58d - 10e + 29 \\ 19f - 29 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 行数: 3, 列数: 3

(2) 解なし

(3) 解なし