与えられた行列 $Q$ の逆行列 $Q^{-1}$ を求める問題です。 $Q = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $Q$ の逆行列 $Q^{-1}$ を求める問題です。

$Q = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

逆行列を求めるには、いくつかの方法がありますが、ここでは掃き出し法を用います。

まず、$Q$ に単位行列を並べた拡大行列を作成します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

次に、この拡大行列を行基本変形によって、左側の行列を単位行列に変形します。

1. 2行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2. 2行目に-1を掛けます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3. 1行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

4. 3行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

5. 1行目から3行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

6. 2行目に3行目を足します。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

したがって、$Q^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$Q^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$