問題125は、和の公式を用いて、与えられた式を計算する問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (4k-5)$ を計算し、$\sum_{k=1}^{n} k$ の形に変形します。定数$c$も求めます。 (2) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ を計算し、$\sum_{k=1}^{n} k^2$と$\sum_{k=1}^{n} k$の形に変形します。 また、$a, b, -4$がこの順に等比数列、$-4, a, b$がこの順に等差数列であるときの$a$と$b$を求めます。

はい、承知いたしました。問題の解答を作成します。

1. 問題の内容

問題125は、和の公式を用いて、与えられた式を計算する問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (4k-5)$ を計算し、$\sum_{k=1}^{n} k$ の形に変形します。定数$c$も求めます。

(2) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ を計算し、$\sum_{k=1}^{n} k^2$と$\sum_{k=1}^{n} k$の形に変形します。

また、$a, b, -4$がこの順に等比数列、$-4, a, b$がこの順に等差数列であるときの$a$と$b$を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$\sum_{k=1}^{n} (4k-5) = \sum_{k=1}^{n} 4k - \sum_{k=1}^{n} 5 = 4\sum_{k=1}^{n} k - 5\sum_{k=1}^{n} 1 = 4\sum_{k=1}^{n} k - 5n$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ なので$c=1$

(2)

$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2+k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$a, b, -4$が等比数列なので、$\frac{b}{a} = \frac{-4}{b}$。つまり、$b^2 = -4a$。

$-4, a, b$が等差数列なので、$a-(-4) = b-a$。つまり、$2a = b-4$。よって、$a=\frac{b-4}{2}$。

$b^2 = -4a = -4 (\frac{b-4}{2}) = -2(b-4) = -2b+8$

$b^2 + 2b - 8 = 0$

$(b+4)(b-2) = 0$

$b = -4, 2$

問題文にa, bが異なると書いてあるので$b=-4$は不適。

$b=2$のとき、$a = \frac{2-4}{2} = -1$。

3. 最終的な答え

(1)

$\sum_{k=1}^{n} c = \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \sum_{k=1}^{n} k$

$c = 1$

(2)

$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2$

$\sum_{k=1}^{n} k = \sum_{k=1}^{n} k$

$a = -1$

$b = 2$