問題は、$\frac{x}{y+z} = \frac{y}{z+x} = \frac{z}{x+y}$ のとき、この式の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{x}{y+z} = \frac{y}{z+x} = \frac{z}{x+y}$ のとき、この式の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{x}{y+z} = \frac{y}{z+x} = \frac{z}{x+y} = k$ とおきます。

このとき、

$x = k(y+z)$

$y = k(z+x)$

$z = k(x+y)$

となります。

これらの式を全て足し合わせると、

$x+y+z = k(y+z) + k(z+x) + k(x+y)$

$x+y+z = k(2x+2y+2z)$

$x+y+z = 2k(x+y+z)$

ここで、$x+y+z \neq 0$ の場合、$1 = 2k$ となり、$k = \frac{1}{2}$ です。

次に、$x+y+z = 0$ の場合、$x+y = -z$ , $y+z = -x$ , $z+x = -y$ となります。

したがって、

$k = \frac{x}{y+z} = \frac{x}{-x} = -1$

$k = \frac{y}{z+x} = \frac{y}{-y} = -1$

$k = \frac{z}{x+y} = \frac{z}{-z} = -1$

となり、$k = -1$ です。

したがって、$k = \frac{1}{2}$ または $k = -1$ です。

$k$ は与えられた式の値なので、この式の値は $\frac{1}{2}$ または $-1$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$ または $-1$