ある世論調査で、有権者から無作為抽出した900人について、A政党の支持者を調べたら324人いた。A政党の支持者の母比率 $p$ に対して、信頼度95%の信頼区間を求める。

1. 問題の内容

ある世論調査で、有権者から無作為抽出した900人について、A政党の支持者を調べたら324人いた。A政党の支持者の母比率 $p$ に対して、信頼度95%の信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

母比率の信頼区間を求める公式は、標本比率を $\hat{p}$、標本サイズを $n$、信頼係数を $z_{\alpha/2}$ とすると、

$\hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \leq p \leq \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

となる。

まず、標本比率 $\hat{p}$ を計算する。

$\hat{p} = \frac{324}{900} = 0.36$

次に、信頼度95%に対応する $z_{\alpha/2}$ を求める。

信頼度95%の場合、$z_{\alpha/2} = 1.96$ となる。

与えられた値：

$n = 900$

$\hat{p} = 0.36$

$z_{\alpha/2} = 1.96$

これらの値を公式に代入する。

$$

1. 96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 1.96\sqrt{\frac{0.36(1-0.36)}{900}} = 1.96\sqrt{\frac{0.36 \times 0.64}{900}} = 1.96\sqrt{\frac{0.2304}{900}} = 1.96\sqrt{0.000256} = 1.96 \times 0.016 = 0.03136$

したがって、信頼区間の下限は

$0.36 - 0.03136 = 0.32864$

信頼区間の上限は

$0.36 + 0.03136 = 0.39136$

3. 最終的な答え

信頼度95%の信頼区間は

$0.32864 \leq p \leq 0.39136$

約 $0.329 \leq p \leq 0.391$