(1) $2\log_3 x = \log_3(x+2)$ を解く。 (2) $\left(\frac{1}{3}\right)^{x-4} > 3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{2x}$ を解く。

1. 問題の内容

(1) $2\log_3 x = \log_3(x+2)$ を解く。

(2) $\left(\frac{1}{3}\right)^{x-4} > 3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{2x}$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

まず、真数条件から $x > 0$ かつ $x+2 > 0$ が必要である。したがって、$x > 0$。

次に、

$2\log_3 x = \log_3(x+2)$

$\log_3 x^2 = \log_3(x+2)$

底が3で1より大きいので、真数部分を比較して

$x^2 = x+2$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

$x = 2, -1$

真数条件より $x>0$ であるから、$x = 2$。

(2)

$\left(\frac{1}{3}\right)^{x-4} > 3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{2x}$

$\left(3^{-1}\right)^{x-4} > 3 \cdot \left(3^{-2}\right)^{2x}$

$3^{-x+4} > 3^1 \cdot 3^{-4x}$

$3^{-x+4} > 3^{1-4x}$

底が3で1より大きいので、指数部分を比較して

$-x+4 > 1-4x$

$3x > -3$

$x > -1$

3. 最終的な答え

(1) $x=2$

(2) $x > -1$