全体集合$U$を20より小さい正の偶数の集合とします。$U$の部分集合$A$, $B$について、 $A \cap B = \{4, 12\}$ $\overline{A} \cap B = \{2, 6, 16\}$ $\overline{A \cup B} = \{8, 14\}$ が与えられたとき、$A$と$B$を求める問題です。

1. 問題の内容

全体集合$U$を20より小さい正の偶数の集合とします。$U$の部分集合$A$, $B$について、

$A \cap B = \{4, 12\}$

$\overline{A} \cap B = \{2, 6, 16\}$

$\overline{A \cup B} = \{8, 14\}$

が与えられたとき、$A$と$B$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、全体集合$U$を求めます。

$U = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18\}$

次に、与えられた条件から分かる集合の要素を整理します。

$A \cap B = \{4, 12\}$より、$4 \in A$, $4 \in B$, $12 \in A$, $12 \in B$

$\overline{A} \cap B = \{2, 6, 16\}$より、$2 \notin A$, $2 \in B$, $6 \notin A$, $6 \in B$, $16 \notin A$, $16 \in B$

$\overline{A \cup B} = \{8, 14\}$より、$8 \notin A \cup B$, $14 \notin A \cup B$。つまり、$8 \notin A$, $8 \notin B$, $14 \notin A$, $14 \notin B$

これらの情報から、$B$の要素は$\{2, 4, 6, 12, 16\}$を含み、$A$の要素は$\{4, 12\}$を含みます。

$A \cup B$の補集合が$\{8, 14\}$であるので、$U$から$\{8, 14\}$を除いた集合が$A \cup B$となります。

$A \cup B = U \setminus \{8, 14\} = \{2, 4, 6, 10, 12, 16, 18\}$

$A \cup B$から$B$の要素を引くと、$A$にのみ含まれる要素が分かります。

$A \setminus B = (A \cup B) \setminus B = \{2, 4, 6, 10, 12, 16, 18\} \setminus \{2, 4, 6, 12, 16\} = \{10, 18\}$

よって、$A = (A \cap B) \cup (A \setminus B) = \{4, 12\} \cup \{10, 18\} = \{4, 10, 12, 18\}$

$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B) = \{4, 12\} \cup \{2, 6, 16\} = \{2, 4, 6, 12, 16\}$

3. 最終的な答え

$A = \{4, 10, 12, 18\}$

$B = \{2, 4, 6, 12, 16\}$