集合 $S = \{x | x \in \mathbb{N}, 0 < \sqrt{x} < 3\}$ について考える。 1. 関係 $R = \{(x, y) | x \in S, y \in S, f(x) = f(y)\}$, $f(p) = p \mod 5$ であるとき、商集合 $S/R$ を求め、外延的記法で表す。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

集合 $S = \{x | x \in \mathbb{N}, 0 < \sqrt{x} < 3\}$ について考える。

1. 関係 $R = \{(x, y) | x \in S, y \in S, f(x) = f(y)\}$, $f(p) = p \mod 5$ であるとき、商集合 $S/R$ を求め、外延的記法で表す。

2. 関係 $Q = \{(y, z) | y \in S, z \in S, g(y) = g(z)\}$, $g(q) = \lfloor q/3 \rfloor$ であるとき、合成関係 $R \circ Q$ を求める。

2. 解き方の手順

1. まず、集合 $S$ を具体的に求める。$0 < \sqrt{x} < 3$ より、$0 < x < 9$ である。$x$ は自然数なので、$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ となる。

次に、$f(x) = x \mod 5$ を計算する。

$f(1) = 1 \mod 5 = 1$

$f(2) = 2 \mod 5 = 2$

$f(3) = 3 \mod 5 = 3$

$f(4) = 4 \mod 5 = 4$

$f(5) = 5 \mod 5 = 0$

$f(6) = 6 \mod 5 = 1$

$f(7) = 7 \mod 5 = 2$

$f(8) = 8 \mod 5 = 3$

同値類を求める。

$[1] = \{x \in S | f(x) = f(1) = 1\} = \{1, 6\}$

$[2] = \{x \in S | f(x) = f(2) = 2\} = \{2, 7\}$

$[3] = \{x \in S | f(x) = f(3) = 3\} = \{3, 8\}$

$[4] = \{x \in S | f(x) = f(4) = 4\} = \{4\}$

$[5] = \{x \in S | f(x) = f(5) = 0\} = \{5\}$

したがって、$S/R = \{\{1, 6\}, \{2, 7\}, \{3, 8\}, \{4\}, \{5\}\}$ となる。

2. $g(y) = \lfloor y/3 \rfloor$ を計算する。

$g(1) = \lfloor 1/3 \rfloor = 0$

$g(2) = \lfloor 2/3 \rfloor = 0$

$g(3) = \lfloor 3/3 \rfloor = 1$

$g(4) = \lfloor 4/3 \rfloor = 1$

$g(5) = \lfloor 5/3 \rfloor = 1$

$g(6) = \lfloor 6/3 \rfloor = 2$

$g(7) = \lfloor 7/3 \rfloor = 2$

$g(8) = \lfloor 8/3 \rfloor = 2$

関係 $Q$ は次のようになる。

$Q = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (6, 6), (6, 7), (6, 8), (7, 6), (7, 7), (7, 8), (8, 6), (8, 7), (8, 8)\}$

関係 $R$ は $f(x) = f(y)$ であるような $(x, y)$ の組である。

$R = \{(1, 1), (1, 6), (2, 2), (2, 7), (3, 3), (3, 8), (4, 4), (5, 5), (6, 1), (6, 6), (7, 2), (7, 7), (8, 3), (8, 8)\}$

$R \circ Q = \{(y, z) | \exists w \in S, (y, w) \in Q, (w, z) \in R\}$

例えば、$(1, 1) \in Q$ であり、$(1, 1) \in R$ であるので、$(1, 1) \in R \circ Q$

$(1, 6) \in R$ であるので、$(1, 6) \in R \circ Q$

$(1, 2) \in Q$ であるが、$(2, z) \in R$ となる $z$ は $2$ と $7$。よって $(1, 2) \notin R \circ Q$, $(1,7)\notin R \circ Q$

同様に計算する。

$R \circ Q = \{(1, 1), (1, 6), (2, 1), (2, 6), (3, 3), (3, 8), (4, 3), (4, 8), (5, 3), (5, 8), (6, 6), (6, 1), (7, 7), (7, 2), (8, 8), (8, 3)\}$

3. 最終的な答え

1. $S/R = \{\{1, 6\}, \{2, 7\}, \{3, 8\}, \{4\}, \{5\}\}$

2. $R \circ Q = \{(1, 1), (1, 6), (2, 1), (2, 6), (3, 3), (3, 8), (4, 3), (4, 8), (5, 3), (5, 8), (6, 1), (6, 6), (7, 2), (7, 7), (8, 3), (8, 8)\}$