問題6について、全体集合$U$を15以下の自然数全体の集合とし、$U$の部分集合$A = \{1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15\}$、$B = \{1, 4, 6, 7, 9\}$が与えられたとき、以下の集合の要素の個数を求める。 (1) $n(A)$ (2) $n(B)$ (3) $n(A \cap B)$ (4) $n(A \cup B)$ (5) $n(\overline{A})$ (6) $n(\overline{B})$ (7) $n(A \cap \overline{B})$ (8) $n(\overline{A \cap B})$

1. 問題の内容

問題6について、全体集合$U$を15以下の自然数全体の集合とし、$U$の部分集合$A = \{1, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 15\}$、$B = \{1, 4, 6, 7, 9\}$が与えられたとき、以下の集合の要素の個数を求める。

(1) $n(A)$

(2) $n(B)$

(3) $n(A \cap B)$

(4) $n(A \cup B)$

(5) $n(\overline{A})$

(6) $n(\overline{B})$

(7) $n(A \cap \overline{B})$

(8) $n(\overline{A \cap B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(A)$: 集合$A$の要素の個数を数える。

(2) $n(B)$: 集合$B$の要素の個数を数える。

(3) $n(A \cap B)$: 集合$A$と集合$B$の共通部分の要素の個数を数える。

(4) $n(A \cup B)$: 集合$A$と集合$B$の和集合の要素の個数を数える。和集合の要素の個数は、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$で計算できる。

(5) $n(\overline{A})$: 集合$A$の補集合の要素の個数を数える。全体集合$U$は1から15の自然数なので、$n(U) = 15$。したがって、$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$で計算できる。

(6) $n(\overline{B})$: 集合$B$の補集合の要素の個数を数える。$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$で計算できる。

(7) $n(A \cap \overline{B})$: 集合$A$と集合$B$の補集合の共通部分の要素の個数を数える。集合$A \cap \overline{B}$は、集合$A$から集合$B$との共通部分を取り除いたものと考えることができる。したがって、$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$で計算できる。

(8) $n(\overline{A \cap B})$: 集合$A$と集合$B$の共通部分の補集合の要素の個数を数える。これは、$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B)$で計算できる。

3. 最終的な答え

(1) $n(A) = 8$

(2) $n(B) = 5$

(3) $A \cap B = \{1, 4, 7, 9\}$ なので、$n(A \cap B) = 4$

(4) $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 8 + 5 - 4 = 9$

(5) $n(\overline{A}) = n(U) - n(A) = 15 - 8 = 7$

(6) $n(\overline{B}) = n(U) - n(B) = 15 - 5 = 10$

(7) $n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B) = 8 - 4 = 4$

(8) $n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B) = 15 - 4 = 11$

したがって、

(1) 8

(2) 5

(3) 4

(4) 9

(5) 7

(6) 10

(7) 4

(8) 11