15以下の自然数の集合を全体集合Uとする。 3の倍数の集合をA、4の倍数の集合をBとする。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A}$ (4) $\overline{B}$ をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

15以下の自然数の集合を全体集合Uとする。

3の倍数の集合をA、4の倍数の集合をBとする。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A}$

(4) $\overline{B}$

をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、集合AとBを具体的に書き出す。

Aは3の倍数の集合なので、$A = \{3, 6, 9, 12, 15\}$

Bは4の倍数の集合なので、$B = \{4, 8, 12\}$

全体集合Uは15以下の自然数の集合なので、$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$

(1) $A \cap B$ は、AとBの両方に含まれる要素の集合である。

$A \cap B = \{12\}$

(2) $A \cup B$ は、AまたはBに含まれる要素の集合である。

$A \cup B = \{3, 4, 6, 8, 9, 12, 15\}$

(3) $\overline{A}$ は、全体集合Uの中でAに含まれない要素の集合である。

$\overline{A} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14\}$

(4) $\overline{B}$ は、全体集合Uの中でBに含まれない要素の集合である。

$\overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{12\}$

(2) $A \cup B = \{3, 4, 6, 8, 9, 12, 15\}$

(3) $\overline{A} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14\}$

(4) $\overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15\}$