問題は以下の2点です。 1. $p \Rightarrow q$ と $\neg p \vee q$ が論理的に同値であることを示す。

1. 問題の内容

問題は以下の2点です。

1. $p \Rightarrow q$ と $\neg p \vee q$ が論理的に同値であることを示す。

2. $P = (p \Rightarrow \neg q) \Rightarrow (r \wedge s)$ と $Q = (p \vee r) \wedge (q \vee r) \wedge (p \vee s) \wedge (q \vee s)$ が論理的に同値であることを、真理値表を用いずに示す。

2. 解き方の手順

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1. $p \Rightarrow q$ と $\neg p \vee q$ が論理的に同値であることの証明**

$p \Rightarrow q$ は「$p$ならば$q$」という意味です。これは、「$p$が成り立たないか、または、$q$が成り立つ」と同値です。

つまり、$p \Rightarrow q \equiv \neg p \vee q$ です。

より厳密には以下のように考えます。

$p \Rightarrow q$ は $\neg p \vee q$ と定義されるので、これらは同値です。

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2. $P$ と $Q$ が論理的に同値であることの証明**

まず、$P$ を変形します。

$P = (p \Rightarrow \neg q) \Rightarrow (r \wedge s)$

$P = \neg (p \Rightarrow \neg q) \vee (r \wedge s)$ (含意の除去)

$P = \neg (\neg p \vee \neg q) \vee (r \wedge s)$ (含意の除去、問題1の結果を利用)

$P = (p \wedge q) \vee (r \wedge s)$ (ド・モルガンの法則)

次に、$Q$ を変形します。

$Q = (p \vee r) \wedge (q \vee r) \wedge (p \vee s) \wedge (q \vee s)$

$Q = [(p \vee r) \wedge (q \vee r)] \wedge [(p \vee s) \wedge (q \vee s)]$

$Q = [(p \wedge q) \vee r] \wedge [(p \wedge q) \vee s]$ (分配法則)

$Q = (p \wedge q) \vee (r \wedge s)$ (分配法則)

したがって、$P = (p \wedge q) \vee (r \wedge s)$ と $Q = (p \wedge q) \vee (r \wedge s)$ は同値です。

3. 最終的な答え

1. $p \Rightarrow q \equiv \neg p \vee q$

2. $P \equiv Q$