(1) 10人の入院患者を、4人用病室A、4人用病室B、2人用病室Cの3つの病室に振り分ける方法は何通りあるか。 (2) 10人のうち、ある3人はトラブル回避のため同じ病室に振り分けることができず、3人それぞれ別の病室に入ることになった場合、10人の病室の振り分け方は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 10人の入院患者を、4人用病室A、4人用病室B、2人用病室Cの3つの病室に振り分ける方法は何通りあるか。

(2) 10人のうち、ある3人はトラブル回避のため同じ病室に振り分けることができず、3人それぞれ別の病室に入ることになった場合、10人の病室の振り分け方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、10人から病室Aに入れる4人を選ぶ組み合わせは ${}_{10}C_4$ 通り。

次に、残りの6人から病室Bに入れる4人を選ぶ組み合わせは ${}_6C_4$ 通り。

最後に、残りの2人から病室Cに入れる2人を選ぶ組み合わせは ${}_2C_2$ 通り。

したがって、10人を3つの病室に振り分ける組み合わせの総数は、

$${}_{10}C_4 \times {}_6C_4 \times {}_2C_2 = \frac{10!}{4!6!} \times \frac{6!}{4!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{10!}{4!4!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 \times 3 \times 5 = 3150$$

よって、3150通り。

(2)

まず、トラブルを避ける必要がある3人をそれぞれ別の病室に入れる方法を考える。

3人のうち1人をAに入れる、1人をBに入れる、1人をCに入れることを考える。

3人の割り当て方は3!通り。

残りの7人からAに入れる人を3人選ぶ方法は${}_7C_3$通り。

残りの4人からBに入れる人を3人選ぶ方法は${}_4C_3$通り。

残りの1人をCに入れる方法は${}_1C_1$通り。

したがって、${}_7C_3 \times {}_4C_3 \times {}_1C_1 = \frac{7!}{3!4!} \times \frac{4!}{3!1!} \times \frac{1!}{1!0!} = 35 \times 4 \times 1 = 140$

全体の組み合わせは$3! \times 140 = 6 \times 140 = 840$通り。

3. 最終的な答え

(1) 3150通り

(2) 840通り