40人のクラスで、シャープペンシルを持っている人が33人、ボールペンを持っている人が28人、万年筆を持っている人が21人いる。誰も何も持っていない人はいなかったとき、以下の選択肢の中で確実に言えるものはどれか。 1. シャープペンシルとボールペンと万年筆を3つとも持っている人は少なくとも2人いる。

1. 問題の内容

40人のクラスで、シャープペンシルを持っている人が33人、ボールペンを持っている人が28人、万年筆を持っている人が21人いる。誰も何も持っていない人はいなかったとき、以下の選択肢の中で確実に言えるものはどれか。

1. シャープペンシルとボールペンと万年筆を3つとも持っている人は少なくとも2人いる。

2. ボールペンと万年筆の両方を持っている人は少なくとも11人いる。

3. シャープペンシルとボールペンと万年筆を3つとも持っている人数の最大値は21人ではない。

4. シャープペンシルと万年筆の両方を持っている人は少なくとも15人いる。

5. シャープペンシルとボールペンの両方を持っている人は少なくとも23人いる。

2. 解き方の手順

この問題は、集合の要素の個数を扱う問題です。包含と排除の原理を利用します。

クラス全体の人数を $N = 40$ とします。

シャープペンシルを持っている人の数を $S = 33$ とします。

ボールペンを持っている人の数を $B = 28$ とします。

万年筆を持っている人の数を $M = 21$ とします。

選択肢2について検討します。ボールペンと万年筆の両方を持っている人の最小値を求めます。

$B \cup M$ （ボールペンか万年筆を持っている人の数）を考えます。

$B \cup M = N - S'$ （シャープペンシルを持っていない人の数）

$S' = N - S = 40 - 33 = 7$

$B \cup M = 40 - 7 = 33$

包含と排除の原理より、

$|B \cup M| = |B| + |M| - |B \cap M|$

$33 = 28 + 21 - |B \cap M|$

$33 = 49 - |B \cap M|$

$|B \cap M| = 49 - 33 = 16$

ボールペンを持っていない人は $40-28=12$ 人、万年筆を持っていない人は $40-21=19$ 人います。

ボールペンと万年筆の両方を持っていない人は最大で $12+19 = 31$ 人です。

よって、ボールペンと万年筆の両方を持っている人は少なくとも $40-31 = 9$ 人います。

ボールペンと万年筆の両方を持っている人は少なくとも $28+21-40=9$ 人います。

$|B \cap M| = |B| + |M| - |B \cup M|$

$|B \cup M|$ の最大値は40なので、 $|B \cap M| \geq 28+21-40 = 9$

ボールペンだけを持っている人の数を $B_{only}$、万年筆だけを持っている人の数を $M_{only}$、両方を持っている人の数を $X$ とすると、

$B_{only} + M_{only} + X = 33$

$B_{only} + X = 28$

$M_{only} + X = 21$

$B_{only} = 28 - X$

$M_{only} = 21 - X$

$28 - X + 21 - X + X = 33$

$49 - X = 33$

$X = 16$

ボールペンと万年筆の両方を持っている人は16人です。

ボールペンと万年筆の両方を持っている人は少なくとも9人です。

2の選択肢は誤り。

全体の集合を $U$ とすると，$|U| = 40$

$|S|=33$, $|B|=28$, $|M|=21$

$|S \cup B \cup M| = |U| = 40$

$|S \cup B \cup M| = |S|+|B|+|M| - |S \cap B| - |B \cap M| - |M \cap S| + |S \cap B \cap M|$

$40 = 33+28+21 - |S \cap B| - |B \cap M| - |M \cap S| + |S \cap B \cap M|$

$|S \cap B| + |B \cap M| + |M \cap S| - |S \cap B \cap M| = 33+28+21-40 = 42$

$42 = |S \cap B| + |B \cap M| + |M \cap S| - |S \cap B \cap M|$

選択肢5について

$|S \cup B| = |S| + |B| - |S \cap B| \le 40$

$33 + 28 - |S \cap B| \le 40$

$|S \cap B| \ge 33 + 28 - 40 = 21$

シャープペンシルとボールペンの両方を持っている人は少なくとも21人いる。 よって選択肢5は誤り。

選択肢1について

$|S \cup B \cup M| = 40$

$|S \cap B \cap M| = |S|+|B|+|M| - |S \cup B \cup M| - (|S \cap B'| + |B \cap M'| + |M \cap S'|)$

少なくとも2人はいるか、という問いに対しては、 $33+28+21 - 2*40=2$.

$|S \cap B \cap M|$ の最小値は、$S'$ + $B'$ + $M'$ = $40-33 + 40-28 + 40-21 = 7+12+19 = 38$ より、 $40-38 =2$

よって、1は正しい。

3. 最終的な答え

1. シャープペンシルとボールペンと万年筆を3つとも持っている人は少なくとも2人いる。