与えられた論理回路について、以下の3つの問いに答える問題です。 1. 回路を表す論理式を示せ。

1. 問題の内容

与えられた論理回路について、以下の3つの問いに答える問題です。

1. 回路を表す論理式を示せ。

2. 回路の真理値表を描け。

3. 回路を簡略化せよ（回路図は不要）。

2. 解き方の手順

まず、与えられた論理回路を解析し、各ゲートの出力を論理式で表現します。次に、得られた論理式を組み合わせて、回路全体の出力QをA, B, Cで表します。得られた論理式から真理値表を作成します。最後に、ブール代数の法則を用いて論理式を簡略化します。

(1) 論理式の導出:

まず、各ゲートの出力を定義します。

- NANDゲートの出力: $X = \overline{A \cdot B}$

- ANDゲートの出力: $Y = B \cdot C$

- ORゲートの出力: $Z = Y + C = B \cdot C + C$

- XORゲートの出力: $Q = X \oplus Z = \overline{A \cdot B} \oplus (B \cdot C + C)$

したがって、回路全体の論理式は以下のようになります。

$Q = \overline{A \cdot B} \oplus (B \cdot C + C)$

(2) 真理値表の作成:

A, B, Cのすべての組み合わせ(2^3 = 8通り)について、X, Y, Z, Qの値を計算します。

| A | B | C | A・B | X=~(A・B) | B・C | Z=B・C+C | Q=X⊕Z |

|---|---|---|-----|-----------|-----|----------|-------|

| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |

| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |

| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |

| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |

| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |

| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |

| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |

(3) 論理式の簡略化:

$Q = \overline{A \cdot B} \oplus (B \cdot C + C)$

$Q = \overline{A \cdot B} \oplus C(B+1)$

$Q = \overline{A \cdot B} \oplus C$

$Q = (\overline{A \cdot B}) \overline{C} + (A \cdot B) C$

$Q = (\overline{A} + \overline{B}) \overline{C} + A B C$

$Q = \overline{A} \overline{C} + \overline{B} \overline{C} + A B C$

3. 最終的な答え

1. 論理式: $Q = \overline{A \cdot B} \oplus (B \cdot C + C)$

2. 真理値表: 上記参照

3. 簡略化された論理式: $Q = \overline{A} \overline{C} + \overline{B} \overline{C} + A B C$