AからEの5人に宛名と書面を送る際、何人かは宛名と書面が食い違ってしまった。 (1) ちょうど2人分の宛名と書面が食い違っている場合は何通りあるか。 (2) ちょうど4人分の宛名と書面が食い違っている場合は何通りあるか。

1. 問題の内容

AからEの5人に宛名と書面を送る際、何人かは宛名と書面が食い違ってしまった。

(1) ちょうど2人分の宛名と書面が食い違っている場合は何通りあるか。

(2) ちょうど4人分の宛名と書面が食い違っている場合は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 5人の中から2人を選び、その2人の宛名と書面が入れ替わっている場合を考える。

まず、5人の中から2人を選ぶ組み合わせの数を計算する。これは、5C2で表される。

$5C2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、ちょうど2人分の宛名と書面が食い違っている場合は10通りである。

(2) ちょうど4人分の宛名と書面が食い違っている場合を考える。4人の宛名と書面が食い違っているとき、残りの1人の宛名と書面は一致している必要がある。

4人のうち誰にどの書面が送られるかの組み合わせを考える。4人の書面が全て異なる宛先に送られる必要がある。例えば、4人をA, B, C, Dとし、正しい書面をa, b, c, dとする。

考えられる組み合わせは以下の通り。

* Aにb, Bにa, Cにd, Dにc

* Aにb, Bにc, Cにd, Dにa

* Aにb, Bにd, Cにa, Dにc

* Aにb, Bにd, Cにc, Dにa

* Aにc, Bにa, Cにd, Dにb

* Aにc, Bにd, Cにa, Dにb

* Aにc, Bにd, Cにb, Dにa

* Aにd, Bにa, Cにb, Dにc

* Aにd, Bにc, Cにa, Dにb

* Aにd, Bにc, Cにb, Dにa

この組み合わせは9通りある。

まず5人から4人を選ぶ組み合わせは $5C4 = 5$ 通り。

4人の宛名と書面が食い違うのは9通り。

よって、 $5 \times 9 = 45$通りではない。

4人が食い違っている場合、残りの1人は正しい宛名と書面を受け取っている必要がある。もし4人が食い違っているならば、その4人の間で書面が巡回している必要がある。

4人全てが間違っている状況において、必ず2人組のペアが発生し、残りの2人もペアになる。そのため、4人だけが食い違うということはあり得ない。

もし4人が食い違うと、残りの1人が必ず正しい書面を受け取ることになる。

もし5人中4人の宛名と書面が食い違っているならば、残りの1人は正しい宛名と書面を受け取らなければならない。しかし、4人の宛名と書面が全て食い違うことはありえない。例えば、Aの書面がBに行き、Bの書面がCに行き、Cの書面がDに行き、Dの書面がAに行く場合のみ、4人全員が食い違うことになるが、これはありえない。

4人分の宛名と書面が食い違っている場合、残りの1人は正しい宛名と書面を受け取らなければならない。しかし、そのような状況は発生しえない。

したがって、ちょうど4人分の宛名と書面が食い違っている場合は0通りである。

3. 最終的な答え

(1) 10通り

(2) 0通り