全体集合 $U$ を $100 \le x \le 200$ の整数とし、$A$ を $U$ の部分集合で $3$ の倍数、$B$ を $U$ の部分集合で $4$ の倍数とする。このとき、$n(A), n(B), n(A \cap B), n(A \cup B), n(\overline{A} \cap B), n(A \cap \overline{B}), n(\overline{A} \cup \overline{B})$ を求める。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を $100 \le x \le 200$ の整数とし、$A$ を $U$ の部分集合で $3$ の倍数、$B$ を $U$ の部分集合で $4$ の倍数とする。このとき、$n(A), n(B), n(A \cap B), n(A \cup B), n(\overline{A} \cap B), n(A \cap \overline{B}), n(\overline{A} \cup \overline{B})$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$U$ の要素数を求める。

$n(U) = 200 - 100 + 1 = 101$

次に、$A$ の要素数を求める。

$A$ は $U$ の中で $3$ の倍数である要素の集合である。

$100$ 以上の最小の $3$ の倍数は $102 = 3 \times 34$ である。

$200$ 以下の最大の $3$ の倍数は $198 = 3 \times 66$ である。

したがって、$n(A) = 66 - 34 + 1 = 33$

次に、$B$ の要素数を求める。

$B$ は $U$ の中で $4$ の倍数である要素の集合である。

$100$ 以上の最小の $4$ の倍数は $100 = 4 \times 25$ である。

$200$ 以下の最大の $4$ の倍数は $200 = 4 \times 50$ である。

したがって、$n(B) = 50 - 25 + 1 = 26$

次に、$A \cap B$ の要素数を求める。

$A \cap B$ は $U$ の中で $3$ の倍数かつ $4$ の倍数である要素の集合、つまり $12$ の倍数の集合である。

$100$ 以上の最小の $12$ の倍数は $108 = 12 \times 9$ である。

$200$ 以下の最大の $12$ の倍数は $192 = 12 \times 16$ である。

したがって、$n(A \cap B) = 16 - 9 + 1 = 8$

次に、$A \cup B$ の要素数を求める。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 33 + 26 - 8 = 51$

次に、$n(\overline{A} \cap B)$ を求める。

$\overline{A} \cap B$ は $B$ から $A \cap B$ を除いたものである。

$n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B) = 26 - 8 = 18$

次に、$n(A \cap \overline{B})$ を求める。

$A \cap \overline{B}$ は $A$ から $A \cap B$ を除いたものである。

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B) = 33 - 8 = 25$

最後に、$n(\overline{A} \cup \overline{B})$ を求める。

ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$ である。

したがって、$n(\overline{A} \cup \overline{B}) = n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B) = 101 - 8 = 93$

3. 最終的な答え

$n(A) = 33$

$n(B) = 26$

$n(A \cap B) = 8$

$n(A \cup B) = 51$

$n(\overline{A} \cap B) = 18$

$n(A \cap \overline{B}) = 25$

$n(\overline{A} \cup \overline{B}) = 93$