与えられた画像には、複数の平方根を含む計算問題と、平方根を含む式の乗算問題が含まれています。具体的には、以下の問題があります。 (3) $\sqrt{18} + \sqrt{50}$ (4) $\sqrt{45} - \sqrt{20}$ (5) $\sqrt{48} + 5\sqrt{3} - \sqrt{12}$ (6) $\sqrt{28} - \sqrt{63} + \sqrt{112}$ (1) $(\sqrt{7} + \sqrt{2})(2\sqrt{7} + 3\sqrt{2})$ (2) $(2\sqrt{3} + \sqrt{2})(3\sqrt{3} + 2\sqrt{2})$

1. 問題の内容

与えられた画像には、複数の平方根を含む計算問題と、平方根を含む式の乗算問題が含まれています。具体的には、以下の問題があります。

(3) $\sqrt{18} + \sqrt{50}$

(4) $\sqrt{45} - \sqrt{20}$

(5) $\sqrt{48} + 5\sqrt{3} - \sqrt{12}$

(6) $\sqrt{28} - \sqrt{63} + \sqrt{112}$

(1) $(\sqrt{7} + \sqrt{2})(2\sqrt{7} + 3\sqrt{2})$

(2) $(2\sqrt{3} + \sqrt{2})(3\sqrt{3} + 2\sqrt{2})$

2. 解き方の手順

(3)

まず、各平方根の中身を素因数分解して簡単にします。

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

したがって、

$\sqrt{18} + \sqrt{50} = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

(4)

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

したがって、

$\sqrt{45} - \sqrt{20} = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$

(5)

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

したがって、

$\sqrt{48} + 5\sqrt{3} - \sqrt{12} = 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$

(6)

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$

$\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$

したがって、

$\sqrt{28} - \sqrt{63} + \sqrt{112} = 2\sqrt{7} - 3\sqrt{7} + 4\sqrt{7} = 3\sqrt{7}$

(1)

$(\sqrt{7} + \sqrt{2})(2\sqrt{7} + 3\sqrt{2}) = \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 3\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{7} + \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}$

$= 2 \cdot 7 + 3\sqrt{14} + 2\sqrt{14} + 3 \cdot 2 = 14 + 5\sqrt{14} + 6 = 20 + 5\sqrt{14}$

(2)

$(2\sqrt{3} + \sqrt{2})(3\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}$

$= 6 \cdot 3 + 4\sqrt{6} + 3\sqrt{6} + 2 \cdot 2 = 18 + 7\sqrt{6} + 4 = 22 + 7\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(3) $8\sqrt{2}$

(4) $\sqrt{5}$

(5) $7\sqrt{3}$

(6) $3\sqrt{7}$

(1) $20 + 5\sqrt{14}$

(2) $22 + 7\sqrt{6}$