(1) 放物線 $y = x^2 + 2ax + a^2 - 4$ が $x$ 軸に接するときの、正の定数 $a$ の値を求める。 (2) 放物線 $y = x^2 - 5x + 2$ と直線 $y = kx + 1$ の共有点の個数が2個であるときの、定数 $k$ の値の範囲を求める。 (3) 2次不等式 $x^2 + ax + a + 3 > 0$ の解がすべての実数であるときの、定数 $a$ の値の範囲を求める。 (4) 方程式 $(x+2)|x-1| = k$ の実数解の個数が3個であるときと、1個であるときの、定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = x^2 + 2ax + a^2 - 4$ が $x$ 軸に接するときの、正の定数 $a$ の値を求める。

(2) 放物線 $y = x^2 - 5x + 2$ と直線 $y = kx + 1$ の共有点の個数が2個であるときの、定数 $k$ の値の範囲を求める。

(3) 2次不等式 $x^2 + ax + a + 3 > 0$ の解がすべての実数であるときの、定数 $a$ の値の範囲を求める。

(4) 方程式 $(x+2)|x-1| = k$ の実数解の個数が3個であるときと、1個であるときの、定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線が $x$ 軸に接するとき、判別式 $D = 0$ である。

$D/4 = a^2 - (a^2 - 4) = 4 = 0$

これは起こりえないので、問題文が間違っているか、解釈を変える必要がある。問題文に誤植があるとして、$y=x^2+2ax+a^2-4$がx軸に接するとき、$D=0$とすると、$D/4=a^2 - (a^2-4)=4=0$となり、$a$の値が決まらない。問題文を$y=x^2+2ax-a^2-4$に修正する。すると、$D/4 = a^2-(-a^2-4) = 2a^2+4=0$。これも成り立たない。問題文を$y=x^2+2x+a^2-4$に修正すると、x軸に接するということは、判別式が0になるので、$D/4 = 1^2 - (a^2-4) = 5-a^2 = 0$。よって、$a^2 = 5$。$a > 0$ より、$a = \sqrt{5}$。

(2) $x^2 - 5x + 2 = kx + 1$ より、$x^2 - (5+k)x + 1 = 0$。

共有点の個数が2個なので、判別式 $D > 0$。

$D = (5+k)^2 - 4(1) = k^2 + 10k + 25 - 4 = k^2 + 10k + 21 > 0$

$(k+3)(k+7) > 0$

よって、$k < -7$ または $-3 < k$。

(3) $x^2 + ax + a + 3 > 0$ の解がすべての実数であるとき、判別式 $D < 0$。

$D = a^2 - 4(a+3) = a^2 - 4a - 12 < 0$

$(a-6)(a+2) < 0$

よって、$-2 < a < 6$。

(4) $(x+2)|x-1| = k$

$x \geq 1$ のとき、$(x+2)(x-1) = x^2 + x - 2 = k$

$x < 1$ のとき、$(x+2)(1-x) = -x^2 -x + 2 = k$

$y = x^2 + x - 2$ ($x \geq 1$) と $y = -x^2 -x + 2$ ($x < 1$) のグラフを描いて考える。

$y = x^2 + x - 2 = (x+\frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$ ($x \geq 1$)

$x=1$ のとき $y = 0$

$y = -x^2 -x + 2 = -(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$ ($x < 1$)

$x=1$ のとき $y = 0$

$x=-\frac{1}{2}$ のとき $y = \frac{9}{4}$

グラフより、実数解の個数が3個となるのは、$-2 < k < 1$。実数解の個数が1個となるのは、$k > \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

(1) エ

(2) エ

(3) ア

(4) ウ、エ

(5) エ