数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 3$ および $a_{n+1} = a_n + (2n+3)$ によって定義される。この数列の一般項が $a_n = n^2 + pn + q$ と表されるとき、$p$ と $q$ の値を求め、さらに $\sum_{k=1}^{8} \frac{1}{a_k}$ の値を分数で表す問題である。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 3$ および $a_{n+1} = a_n + (2n+3)$ によって定義される。この数列の一般項が $a_n = n^2 + pn + q$ と表されるとき、$p$ と $q$ の値を求め、さらに $\sum_{k=1}^{8} \frac{1}{a_k}$ の値を分数で表す問題である。

2. 解き方の手順

まず、$p$ と $q$ の値を求める。$a_1 = 3$ であるから、

$a_1 = 1^2 + p(1) + q = 1 + p + q = 3$

よって、$p + q = 2$。

次に、$a_{n+1} = a_n + (2n+3)$ を用いると、

$a_{n+1} = (n+1)^2 + p(n+1) + q = n^2 + 2n + 1 + pn + p + q$。

また、$a_n + (2n+3) = n^2 + pn + q + 2n + 3$。

したがって、$n^2 + 2n + 1 + pn + p + q = n^2 + pn + q + 2n + 3$。

両辺を比較すると、$2n + 1 + p = 2n + 3$ が得られるので、$p = 2$。

$p + q = 2$ より、$2 + q = 2$ なので、$q = 0$。

したがって、$a_n = n^2 + 2n = n(n+2)$。

次に、$\sum_{k=1}^{8} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{8} \frac{1}{k(k+2)}$ を計算する。

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}$ と部分分数分解すると、

$1 = A(k+2) + Bk = (A+B)k + 2A$。

したがって、$A+B = 0$ および $2A = 1$。

$A = \frac{1}{2}$ であり、$B = -\frac{1}{2}$。

よって、$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$。

$\sum_{k=1}^{8} \frac{1}{a_k} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{8} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{10} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{19}{90} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{135 - 19}{90} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{116}{90} \right) = \frac{58}{90} = \frac{29}{45}$。

問題文には $a_n = n^2 + pn + q$ のとき、$p=1, q=2$ とあるので、これを使うと、$a_n = n^2 + n + 2$。

すると、$a_1 = 1 + 1 + 2 = 4$ となり、$a_1 = 3$ と矛盾する。

$a_{n+1} = a_n + (2n+3)$ なので、

$a_2 = a_1 + (2(1) + 3) = 3 + 5 = 8$。

$a_3 = a_2 + (2(2) + 3) = 8 + 7 = 15$。

$a_4 = a_3 + (2(3) + 3) = 15 + 9 = 24$。

$a_n = n^2 + n + 2$ とすると、

$a_2 = 2^2 + 2 + 2 = 8$。

$a_3 = 3^2 + 3 + 2 = 14$ となり、$a_3 = 15$ と矛盾する。

数列 $a_n$ は $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + (2n+3)$ なので、階差数列を考える。

$a_{n+1} - a_n = 2n + 3$。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+3) = 3 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k + 3 \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 3 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1)$

$= 3 + n(n-1) + 3n - 3 = n^2 - n + 3n = n^2 + 2n = n(n+2)$。

したがって、$a_n = n^2 + 2n$ である。$p=2, q=0$。

$\frac{1}{a_k} = \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$。

$\sum_{k=1}^8 \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^8 \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^8 \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{19}{90} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{135 - 19}{90} \right) = \frac{116}{180} = \frac{29}{45}$。

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{8} \frac{1}{a_k} = \frac{29}{45}$