(2) 72の正の約数の総和を求める。 (3) 等式 $2xy + 2x - 3y - 15 = 0$ を満たす整数 $x$, $y$ の組の個数を求める。

1. 問題の内容

(2) 72の正の約数の総和を求める。

(3) 等式 $2xy + 2x - 3y - 15 = 0$ を満たす整数 $x$, $y$ の組の個数を求める。

2. 解き方の手順

(2) 72の正の約数の総和

まず、72を素因数分解する。

$72 = 2^3 \times 3^2$

約数の総和は、$(1 + 2 + 2^2 + 2^3)(1 + 3 + 3^2)$ で計算できる。

$(1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9) = (15)(13) = 195$

(3) 等式 $2xy + 2x - 3y - 15 = 0$ を満たす整数 $x$, $y$ の組の個数

$2xy + 2x - 3y - 3 = 12$

$2x(y + 1) - 3(y + 1) = 12$

$(2x - 3)(y + 1) = 12$

$2x - 3$ は奇数であることに注意する。12の約数は、$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$ である。

$2x - 3$ が奇数になるのは、$\pm 1, \pm 3$ の場合である。

(i) $2x - 3 = 1$ のとき、 $2x = 4$ より $x = 2$。$y + 1 = 12$ より $y = 11$。

(ii) $2x - 3 = -1$ のとき、 $2x = 2$ より $x = 1$。$y + 1 = -12$ より $y = -13$。

(iii) $2x - 3 = 3$ のとき、 $2x = 6$ より $x = 3$。$y + 1 = 4$ より $y = 3$。

(iv) $2x - 3 = -3$ のとき、 $2x = 0$ より $x = 0$。$y + 1 = -4$ より $y = -5$。

したがって、$(x, y) = (2, 11), (1, -13), (3, 3), (0, -5)$ の4組である。

3. 最終的な答え

(2) 195

(3) 4