自然数 $n$ と28の最小公倍数が168となるような $n$ をすべて求める問題です。$n = ab$ とし、$n$ と28の最大公約数を $a$ とおき、$28 = 2^2 \times 7$ であることから、与えられた条件から $a$ と $n$ の値を求める必要があります。

1. 問題の内容

自然数 $n$ と28の最小公倍数が168となるような $n$ をすべて求める問題です。$n = ab$ とし、$n$ と28の最大公約数を $a$ とおき、$28 = 2^2 \times 7$ であることから、与えられた条件から $a$ と $n$ の値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、問題文より、$n$ と28の最小公倍数が168なので、

$$\text{lcm}(n, 28) = 168$$

また、$n = ab$ であり、$n$ と28の最大公約数が $a$ なので、

$$\text{gcd}(n, 28) = a$$

最小公倍数と最大公約数の関係から、

$$\text{lcm}(n, 28) \times \text{gcd}(n, 28) = n \times 28$$

これに与えられた値を代入すると、

$$168 \times a = n \times 28$$

$$168a = ab \times 28$$

$$6a = ab$$

$$b = 6$$

また、問題文より $b=8$ となっていますが、これは誤りです。以下 $b=6$ として計算を進めます。

$168 = 2^3 \times 3 \times 7$ であり、$28 = 2^2 \times 7$ なので、

$n = ab$ とすると、最小公倍数は $a \times b \times \frac{28}{a} = 168$ と表せます。したがって、$n$ と 28 の最大公約数を $a$ とすると、$n = a \times 6$ となります。

$a$ は $n$ と 28 の公約数なので、$a$ は 28 の約数である必要があります。

28の約数は、1, 2, 4, 7, 14, 28 です。

$n = 6a$ なので、$n$ は 6の倍数でもあります。

ここで、 $n$ と 28 の最小公倍数が 168 という条件を満たすかどうかを確認します。

* $a=1$ のとき、$n = 6$。 $\text{lcm}(6, 28) = 84 \neq 168$

* $a=2$ のとき、$n = 12$。 $\text{lcm}(12, 28) = 84 \neq 168$

* $a=4$ のとき、$n = 24$。 $\text{lcm}(24, 28) = 168$.

* $a=7$ のとき、$n = 42$。 $\text{lcm}(42, 28) = 84 \neq 168$

* $a=14$ のとき、$n = 84$。 $\text{lcm}(84, 28) = 84 \neq 168$

* $a=28$ のとき、$n = 168$。 $\text{lcm}(168, 28) = 168$.

したがって、$a = 4$ のとき、$n = 24$ であり、$a=28$ のとき、$n=168$ である。

問題文中の計算より $b=8$ とされているが、$b=6$ とすると、$8$ と $\frac{2^2 \times 7}{a} = \frac{28}{a}$ が互いに素という記述も誤りである。

3. 最終的な答え

$n = 24, 168$