7で割ると2余り、9で割ると6余るような4桁の自然数のうち、最小のものを求める。

1. 問題の内容

7で割ると2余り、9で割ると6余るような4桁の自然数のうち、最小のものを求める。

2. 解き方の手順

求める自然数を $n$ とします。

問題文より、$n$ は以下の条件を満たします。

* $n \equiv 2 \pmod{7}$

* $n \equiv 6 \pmod{9}$

* $1000 \le n \le 9999$

まず、最初の2つの合同式を満たす $n$ を探します。

$n = 7k + 2$ とおくと、$7k + 2 \equiv 6 \pmod{9}$ より、

$7k \equiv 4 \pmod{9}$

両辺に4をかけると

$28k \equiv 16 \pmod{9}$

$k \equiv 7 \pmod{9}$

したがって、$k = 9l + 7$ と表せます。

これを $n = 7k + 2$ に代入すると、

$n = 7(9l + 7) + 2 = 63l + 49 + 2 = 63l + 51$

次に、$1000 \le n \le 9999$ の条件を考慮します。

$1000 \le 63l + 51 \le 9999$

$949 \le 63l \le 9948$

$\frac{949}{63} \le l \le \frac{9948}{63}$

$15.06... \le l \le 157.90...$

$l$ は整数なので、$16 \le l \le 157$

$n$ が最小となるのは $l=16$ のときです。

$n = 63 \times 16 + 51 = 1008 + 51 = 1059$

3. 最終的な答え

1059