$2^{50}$ を7で割ったときの余りを、合同式を利用して求める問題です。

1. 問題の内容

$2^{50}$ を7で割ったときの余りを、合同式を利用して求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2^1, 2^2, 2^3, ...$ を7で割った余りを調べます。

$2^1 \equiv 2 \pmod{7}$

$2^2 \equiv 4 \pmod{7}$

$2^3 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}$

$2^3 \equiv 1 \pmod{7}$となることを利用します。

$2^{50} = 2^{3 \times 16 + 2} = (2^3)^{16} \times 2^2$

$(2^3)^{16} \equiv 1^{16} \equiv 1 \pmod{7}$

$2^2 \equiv 4 \pmod{7}$

したがって、$2^{50} \equiv 1 \times 4 \equiv 4 \pmod{7}$

3. 最終的な答え

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