$n$ は自然数とします。$\sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k} \geq \frac{n}{2} + 1$ を数学的帰納法によって証明してください。

1. 問題の内容

$n$ は自然数とします。$\sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k} \geq \frac{n}{2} + 1$ を数学的帰納法によって証明してください。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき

$\sum_{k=1}^{2^1} \frac{1}{k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$

よって、$n=1$ のとき、不等式は成立する。

(2) $n=m$ のとき、$\sum_{k=1}^{2^m} \frac{1}{k} \geq \frac{m}{2} + 1$ が成立すると仮定する。

$n=m+1$ のとき、

$\sum_{k=1}^{2^{m+1}} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{2^m} \frac{1}{k} + \sum_{k=2^m+1}^{2^{m+1}} \frac{1}{k}$

帰納法の仮定より、$\sum_{k=1}^{2^m} \frac{1}{k} \geq \frac{m}{2} + 1$

$\sum_{k=2^m+1}^{2^{m+1}} \frac{1}{k}$ について考える。

項数は $2^{m+1} - 2^m = 2^m$ 個である。

最小の項は $\frac{1}{2^{m+1}}$ であるから、

$\sum_{k=2^m+1}^{2^{m+1}} \frac{1}{k} \geq 2^m \cdot \frac{1}{2^{m+1}} = \frac{1}{2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{2^{m+1}} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{2^m} \frac{1}{k} + \sum_{k=2^m+1}^{2^{m+1}} \frac{1}{k} \geq \frac{m}{2} + 1 + \frac{1}{2} = \frac{m+1}{2} + 1$

よって、$n=m+1$ のときも不等式は成立する。

(1)(2)より、すべての自然数 $n$ に対して、$\sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k} \geq \frac{n}{2} + 1$ が成立する。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$\sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k} \geq \frac{n}{2} + 1$ が成立する。