整数 $n$ について、命題「$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」ことを示す問題です。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、命題「$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」ことを示す問題です。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明することで元の命題を証明します。命題「$P$ ならば $Q$」の対偶は「$Q$ でないならば、$P$ でない」です。したがって、今回の命題の対偶は「$n$ が奇数ならば、$n^2$ は奇数である」となります。

$n$ が奇数であるとき、$n = 2k + 1$ （$k$ は整数）と表せます。

このとき、$n^2$ は次のようになります。

$n^2 = (2k + 1)^2$

$n^2 = 4k^2 + 4k + 1$

$n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$

$2k^2 + 2k$ は整数なので、$n^2$ は奇数となります。

したがって、対偶「$n$ が奇数ならば、$n^2$ は奇数である」は真です。対偶が真であるとき、元の命題も真なので、「$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」も真であることが示されました。

3. 最終的な答え

$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である。