自然数 $m$, $n$ について、以下の条件 $p$, $q$, $r$ が与えられています。 $p$: $m+n$ は2で割り切れる $q$: $n$ は4で割り切れる $r$: $m$ は2で割り切れ、かつ $n$ は4で割り切れる 条件 $p$ の否定を $\overline{p}$、条件 $r$ の否定を $\overline{r}$ とします。 以下の空欄に、選択肢（0：必要十分条件、1：必要条件だが十分条件でない、2：十分条件だが必要条件でない、3：必要条件でも十分条件でもない）の中から当てはまるものを選択します。 ケ：$p$ は $r$ であるための（ ） コ：$\overline{p}$ は $\overline{r}$ であるための（ ） サ：「$p$ かつ $q$」は $r$ であるための（ ） シ：「$p$ または $q$」は $r$ であるための（ ）

1. 問題の内容

自然数 $m$, $n$ について、以下の条件 $p$, $q$, $r$ が与えられています。

$p$: $m+n$ は2で割り切れる

$q$: $n$ は4で割り切れる

$r$: $m$ は2で割り切れ、かつ $n$ は4で割り切れる

条件 $p$ の否定を $\overline{p}$、条件 $r$ の否定を $\overline{r}$ とします。

以下の空欄に、選択肢（0：必要十分条件、1：必要条件だが十分条件でない、2：十分条件だが必要条件でない、3：必要条件でも十分条件でもない）の中から当てはまるものを選択します。

ケ：$p$ は $r$ であるための（ ）

コ：$\overline{p}$ は $\overline{r}$ であるための（ ）

サ：「$p$ かつ $q$」は $r$ であるための（ ）

シ：「$p$ または $q$」は $r$ であるための（ ）

2. 解き方の手順

ケ：$p$ は $r$ であるための（ ）

$p$: $m+n$ は2で割り切れる（$m+n$ が偶数）

$r$: $m$ は2で割り切れ、かつ $n$ は4で割り切れる

$p \Rightarrow r$ は成立しません。例えば、$m=1, n=1$ のとき、$m+n=2$ で $p$ は成り立ちますが、$m$ は2で割り切れないので $r$ は成り立ちません。

$r \Rightarrow p$ は成立します。$m$ が偶数、$n$ が4の倍数ならば、$m+n$ は偶数になります。

したがって、$p$ は $r$ であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。

答えは1です。

コ：$\overline{p}$ は $\overline{r}$ であるための（ ）

$\overline{p}$: $m+n$ は2で割り切れない（$m+n$ が奇数）

$\overline{r}$: $m$ は2で割り切れない、または $n$ は4で割り切れない

$\overline{p} \Rightarrow \overline{r}$ は成立します。$m+n$ が奇数なら、$m$ と $n$ のどちらか一方は奇数です。もし $m$ が奇数なら、$m$ は2で割り切れません。もし $m$ が偶数なら、$n$ は奇数になるので、4で割り切れません。

$\overline{r} \Rightarrow \overline{p}$ は成立します。$m$ が2で割り切れない、または $n$ が4で割り切れないとき、

もし $m$ が奇数なら、$m+n$ は奇数になります。もし $m$ が偶数なら、$n$ は4で割り切れない偶数なので、$n = 4k+2$ と表せ、$m+n$ は偶数+偶数 = 偶数となります。$n$ が奇数ならば、$m$ が偶数でも奇数でも、$m+n$ は奇数となります。したがって、$m+n$ は奇数になるとは限りません。

$\overline{p} \Leftrightarrow \overline{r}$ より、$p \Leftrightarrow r$ なので、上の（ケ）より、$p$ は $r$ であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。したがって、$\overline{p}$ は $\overline{r}$ であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

答えは2です。

サ：「$p$ かつ $q$」は $r$ であるための（ ）

$p$: $m+n$ は2で割り切れる

$q$: $n$ は4で割り切れる

$r$: $m$ は2で割り切れ、かつ $n$ は4で割り切れる

$p \cap q$: $m+n$ は偶数で、$n$ は4の倍数

$r$: $m$ は偶数で、$n$ は4の倍数

$p \cap q \Rightarrow r$ は成立します。$m+n$ が偶数で $n$ が4の倍数ならば、$m = (m+n) - n$ は偶数 - 4の倍数 = 偶数なので、$m$ は偶数となります。

$r \Rightarrow p \cap q$ は成立します。$m$ が偶数で $n$ が4の倍数ならば、$m+n$ は偶数になります。

したがって、$p \cap q$ は $r$ であるための必要十分条件です。

答えは0です。

シ：「$p$ または $q$」は $r$ であるための（ ）

$p$: $m+n$ は2で割り切れる

$q$: $n$ は4で割り切れる

$r$: $m$ は2で割り切れ、かつ $n$ は4で割り切れる

$p \cup q$: $m+n$ は偶数、または $n$ は4の倍数

$p \cup q \Rightarrow r$ は成立しません。$m+n$ が偶数の場合、$m$ が奇数、$n$ が奇数の場合は、$r$ は成立しません。例えば、$m=1, n=1$ のとき、$m+n=2$ で $p$ は成り立ちますが、$m$ は2で割り切れないので $r$ は成り立ちません。また、$m=1, n=4$ のとき，$m+n = 5$ は奇数ですが、$n$は4の倍数なので$p \cup q$は成立します。$r$は、$m$は偶数でないので成立しません。

$r \Rightarrow p \cup q$ は成立します。$m$ が偶数で $n$ が4の倍数ならば、$m+n$ は偶数です。

したがって、$p \cup q$ は $r$ であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。

答えは1です。

3. 最終的な答え

ケ：1

コ：2

サ：0

シ：1