1から15までの整数が書かれた15枚のカードが並んでいます。最初に全てのカードを裏返し、次に左から2番目ごと、3番目ごと、…、15番目ごとにカードを裏返します。 (1) 裏になっているカードがひっくり返された回数は偶数か奇数か。 (2) 裏になっているカードの数の正の約数の個数は偶数か奇数か。 (3) 裏になっているカードの数が $n^2$ (nは自然数)の形をした数だけである理由を説明せよ。

数論約数平方数整数の性質

2025/8/5

はい、承知いたしました。問題文を読んで、順番に回答します。

1. 問題の内容

1から15までの整数が書かれた15枚のカードが並んでいます。最初に全てのカードを裏返し、次に左から2番目ごと、3番目ごと、…、15番目ごとにカードを裏返します。

(1) 裏になっているカードがひっくり返された回数は偶数か奇数か。

(2) 裏になっているカードの数の正の約数の個数は偶数か奇数か。

(3) 裏になっているカードの数が

n^2

(nは自然数)の形をした数だけである理由を説明せよ。

2. 解き方の手順

(1) カードがひっくり返される回数は、そのカードの数の約数の個数に等しくなります。例えば、カード6は1, 2, 3, 6のときにひっくり返されます。

裏になっているカードは、最終的に奇数回ひっくり返されている必要があります。

1から15までの数字について、約数の個数を数えてみましょう。

1: 1 (奇数)

2: 1, 2 (偶数)

3: 1, 3 (偶数)

4: 1, 2, 4 (奇数)

5: 1, 5 (偶数)

6: 1, 2, 3, 6 (偶数)

7: 1, 7 (偶数)

8: 1, 2, 4, 8 (偶数)

9: 1, 3, 9 (奇数)

10: 1, 2, 5, 10 (偶数)

11: 1, 11 (偶数)

12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (偶数)

13: 1, 13 (偶数)

14: 1, 2, 7, 14 (偶数)

15: 1, 3, 5, 15 (偶数)

したがって、裏になっているカードは1, 4, 9のカードであり、ひっくり返された回数は奇数回です。

(2) (1)の結果から、裏になっているカードの数は1, 4, 9です。これらの数の約数の個数を調べます。

1の約数: 1 (1個、奇数)

4の約数: 1, 2, 4 (3個、奇数)

9の約数: 1, 3, 9 (3個、奇数)

したがって、裏になっているカードの数の正の約数の個数は奇数です。

(3) ある数nの約数の個数が奇数であるためには、nが平方数である必要があります。なぜなら、約数は通常ペアで現れます。例えば、12の約数は (1, 12), (2, 6), (3, 4) です。しかし、平方数の場合、ある約数とそのペアとなる約数が同じ数になります。例えば、9の約数は (1, 9), (3, 3) であり、3が重複するため、約数の個数は奇数になります。

カードが裏になっているのは、ひっくり返された回数(約数の個数)が奇数である場合のみなので、裏になっているカードの数は平方数になります。1から15までの平方数は