3で割ると2余り、5で割ると3余り、7で割ると4余るような自然数 $n$ のうち、最小のものを求める問題です。

1. 問題の内容

3で割ると2余り、5で割ると3余り、7で割ると4余るような自然数 $n$ のうち、最小のものを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、問題文の条件を数式で表します。

$n \equiv 2 \pmod{3}$

$n \equiv 3 \pmod{5}$

$n \equiv 4 \pmod{7}$

一つ目の式から、$n = 3k + 2$ （$k$ は整数）と表せます。これを二つ目の式に代入すると、

$3k + 2 \equiv 3 \pmod{5}$

$3k \equiv 1 \pmod{5}$

両辺に2をかけると、

$6k \equiv 2 \pmod{5}$

$k \equiv 2 \pmod{5}$

したがって、$k = 5l + 2$ （$l$ は整数）と表せます。これを $n = 3k + 2$ に代入すると、

$n = 3(5l + 2) + 2 = 15l + 6 + 2 = 15l + 8$

これを三つ目の式に代入すると、

$15l + 8 \equiv 4 \pmod{7}$

$15l \equiv -4 \pmod{7}$

$15l \equiv 3 \pmod{7}$

$l \equiv 3 \pmod{7}$

（$15 \equiv 1 \pmod{7}$ より）

したがって、$l = 7m + 3$ （$m$ は整数）と表せます。これを $n = 15l + 8$ に代入すると、

$n = 15(7m + 3) + 8 = 105m + 45 + 8 = 105m + 53$

$n$ が最小の自然数となるのは、$m=0$ のときです。

3. 最終的な答え

したがって、求める最小の自然数 $n$ は53です。