3 で割ると 2 余り、5 で割ると 1 余り、11 で割ると 5 余る自然数のうち、最小のものを求める。

1. 問題の内容

3 で割ると 2 余り、5 で割ると 1 余り、11 で割ると 5 余る自然数のうち、最小のものを求める。

2. 解き方の手順

求める自然数を $x$ とする。問題文より、以下の合同式が成り立つ。

$x \equiv 2 \pmod{3}$

$x \equiv 1 \pmod{5}$

$x \equiv 5 \pmod{11}$

まず、$x \equiv 2 \pmod{3}$ より、$x = 3k + 2$ （$k$ は整数）と表せる。

これを $x \equiv 1 \pmod{5}$ に代入すると、

$3k + 2 \equiv 1 \pmod{5}$

$3k \equiv -1 \pmod{5}$

$3k \equiv 4 \pmod{5}$

ここで、$3$ の $5$ を法とする逆元は $2$ であるから、$2$ を両辺にかけると、

$6k \equiv 8 \pmod{5}$

$k \equiv 3 \pmod{5}$

よって、$k = 5l + 3$ （$l$ は整数）と表せる。

これを $x = 3k + 2$ に代入すると、

$x = 3(5l + 3) + 2 = 15l + 9 + 2 = 15l + 11$

次に、$x \equiv 5 \pmod{11}$ に $x = 15l + 11$ を代入すると、

$15l + 11 \equiv 5 \pmod{11}$

$15l \equiv -6 \pmod{11}$

$15l \equiv 5 \pmod{11}$

$4l \equiv 5 \pmod{11}$

ここで、$4$ の $11$ を法とする逆元は $3$ であるから、$3$ を両辺にかけると、

$12l \equiv 15 \pmod{11}$

$l \equiv 4 \pmod{11}$

よって、$l = 11m + 4$ （$m$ は整数）と表せる。

これを $x = 15l + 11$ に代入すると、

$x = 15(11m + 4) + 11 = 165m + 60 + 11 = 165m + 71$

$x$ が最小となるのは $m = 0$ のときであるから、$x = 71$

3. 最終的な答え

71