$a$ と $b$ は整数である。$a$ を 5 で割ると 3 余り、$b$ を 5 で割ると 4 余る。次の数を 5 で割ったときの余りを求めよ。 (1) $a + b$ (2) $2a + 3b$ (3) $ab$ (4) $a^2 + b^2$

1. 問題の内容

$a$ と $b$ は整数である。$a$ を 5 で割ると 3 余り、$b$ を 5 で割ると 4 余る。次の数を 5 で割ったときの余りを求めよ。

(1) $a + b$

(2) $2a + 3b$

(3) $ab$

(4) $a^2 + b^2$

2. 解き方の手順

$a$ を 5 で割ると 3 余り、$b$ を 5 で割ると 4 余るので、整数 $k, l$ を用いて次のように表すことができる。

$a = 5k + 3$

$b = 5l + 4$

(1) $a + b$ の余りを求める。

$a + b = (5k + 3) + (5l + 4) = 5k + 5l + 7 = 5(k + l + 1) + 2$

したがって、$a + b$ を 5 で割った余りは 2 である。

(2) $2a + 3b$ の余りを求める。

$2a + 3b = 2(5k + 3) + 3(5l + 4) = 10k + 6 + 15l + 12 = 10k + 15l + 18 = 5(2k + 3l + 3) + 3$

したがって、$2a + 3b$ を 5 で割った余りは 3 である。

(3) $ab$ の余りを求める。

$ab = (5k + 3)(5l + 4) = 25kl + 20k + 15l + 12 = 5(5kl + 4k + 3l + 2) + 2$

したがって、$ab$ を 5 で割った余りは 2 である。

(4) $a^2 + b^2$ の余りを求める。

$a^2 + b^2 = (5k + 3)^2 + (5l + 4)^2 = (25k^2 + 30k + 9) + (25l^2 + 40l + 16) = 25k^2 + 30k + 25l^2 + 40l + 25 = 5(5k^2 + 6k + 5l^2 + 8l + 5)$

$= 25k^2 + 30k + 25l^2 + 40l + 25 = 5(5k^2 + 6k + 5l^2 + 8l + 5)$

$a^2 + b^2 = (5k + 3)^2 + (5l + 4)^2 = 25k^2 + 30k + 9 + 25l^2 + 40l + 16 = 25k^2 + 30k + 25l^2 + 40l + 25 = 5(5k^2 + 6k + 5l^2 + 8l + 5)$

$a^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 4$

$b^2 = (5l + 4)^2 = 25l^2 + 40l + 16 = 5(5l^2 + 8l + 3) + 1$

$a^2 + b^2 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 4 + 5(5l^2 + 8l + 3) + 1 = 5(5k^2 + 6k + 5l^2 + 8l + 4) + 5 = 5(5k^2 + 6k + 5l^2 + 8l + 5)$

$a^2 + b^2 = 5(5k^2 + 6k + 5l^2 + 8l + 4) + 5 = 5(5k^2 + 6k + 5l^2 + 8l + 5)$.　$a^2+b^2 = a^2+b^2 = 25k^2+30k+9+25l^2+40l+16 = 25(k^2+l^2) + 30k+40l+25 = 5[5(k^2+l^2) + 6k+8l+5]$. 5での余りは0になるはず。

$a^2 \equiv 3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$.

$b^2 \equiv 4^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}$.

$a^2 + b^2 \equiv 4 + 1 \equiv 5 \equiv 0 \pmod{5}$.

したがって、$a^2 + b^2$ を 5 で割った余りは 0 である。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 3

(3) 2

(4) 0