$0 \leq a < 3$, $0 \leq b < 5$, $0 \leq c < 7$ である整数 $a, b, c$ が与えられている。 $70a + 21b + 15c$ を $3, 5, 7$ で割った余りがそれぞれ $a, b, c$ であることを示す。

1. 問題の内容

$0 \leq a < 3$, $0 \leq b < 5$, $0 \leq c < 7$ である整数 $a, b, c$ が与えられている。

$70a + 21b + 15c$ を $3, 5, 7$ で割った余りがそれぞれ $a, b, c$ であることを示す。

2. 解き方の手順

まず、$70a + 21b + 15c$ を $3$ で割った余りが $a$ であることを示す。

$70a + 21b + 15c \equiv a \pmod{3}$ を示す。

$70 \equiv 1 \pmod{3}$, $21 \equiv 0 \pmod{3}$, $15 \equiv 0 \pmod{3}$ より、

$70a + 21b + 15c \equiv 1a + 0b + 0c \equiv a \pmod{3}$

よって、$70a + 21b + 15c$ を $3$ で割った余りは $a$ である。

次に、$70a + 21b + 15c$ を $5$ で割った余りが $b$ であることを示す。

$70a + 21b + 15c \equiv b \pmod{5}$ を示す。

$70 \equiv 0 \pmod{5}$, $21 \equiv 1 \pmod{5}$, $15 \equiv 0 \pmod{5}$ より、

$70a + 21b + 15c \equiv 0a + 1b + 0c \equiv b \pmod{5}$

よって、$70a + 21b + 15c$ を $5$ で割った余りは $b$ である。

最後に、$70a + 21b + 15c$ を $7$ で割った余りが $c$ であることを示す。

$70a + 21b + 15c \equiv c \pmod{7}$ を示す。

$70 \equiv 0 \pmod{7}$, $21 \equiv 0 \pmod{7}$, $15 \equiv 1 \pmod{7}$ より、

$70a + 21b + 15c \equiv 0a + 0b + 1c \equiv c \pmod{7}$

よって、$70a + 21b + 15c$ を $7$ で割った余りは $c$ である。

3. 最終的な答え

$70a + 21b + 15c$ を $3, 5, 7$ で割った余りはそれぞれ $a, b, c$ である。