$\sqrt{\frac{540}{k}}$ が自然数となるような自然数 $k$ の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{540}{k}}$ が自然数となるような自然数 $k$ の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、540を素因数分解します。

$540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$

したがって、

$\sqrt{\frac{540}{k}} = \sqrt{\frac{2^2 \times 3^3 \times 5}{k}}$

$\sqrt{\frac{540}{k}}$が自然数になるためには、$\frac{540}{k}$が平方数になる必要があります。

つまり、$\frac{540}{k} = n^2$となる自然数 $n$ が存在する必要があります。

言い換えると、$540 = k \times n^2$ となる自然数 $n$ が存在する必要があります。

$k = \frac{540}{n^2}$

$\frac{540}{k}$が平方数となるためには、$k$は$2^2 \times 3^3 \times 5$の約数である必要があります。

さらに、$\frac{2^2 \times 3^3 \times 5}{k}$の指数がすべて偶数でなければなりません。

したがって、kは$3 \times 5 = 15$の倍数である必要があります。

$k = 15m$ （mは整数）とおくと

$\sqrt{\frac{540}{15m}} = \sqrt{\frac{2^2 \times 3^3 \times 5}{3 \times 5 \times m}} = \sqrt{\frac{2^2 \times 3^2}{m}} = \frac{2 \times 3}{\sqrt{m}} = \frac{6}{\sqrt{m}}$

$\frac{6}{\sqrt{m}}$が自然数になるためには、$m$は$1, 4, 9, 36$のいずれかでなければなりません。

よって、$k = 15 \times 1, 15 \times 4, 15 \times 9, 15 \times 36$となります。

また、$\sqrt{\frac{540}{k}}$が自然数になるためには、$\frac{540}{k}$ が平方数になる必要があります。

540を素因数分解すると、$540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5$ です。

$\frac{540}{k}$ が平方数になるためには、$k$ は $3 \cdot 5 = 15$ で割り切れる必要があります。

$k = 15x$ とおくと、$\sqrt{\frac{540}{k}} = \sqrt{\frac{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5}{15x}} = \sqrt{\frac{2^2 \cdot 3^2}{x}} = \frac{6}{\sqrt{x}}$ となります。

$\frac{6}{\sqrt{x}}$ が自然数になるためには、$x$ は $1, 4, 9, 36$ のいずれかでなければなりません。

したがって、$k$ は $15, 60, 135, 540$ のいずれかになります。

$k = 15$ のとき、$\sqrt{\frac{540}{15}} = \sqrt{36} = 6$

$k = 60$ のとき、$\sqrt{\frac{540}{60}} = \sqrt{9} = 3$

$k = 135$ のとき、$\sqrt{\frac{540}{135}} = \sqrt{4} = 2$

$k = 540$ のとき、$\sqrt{\frac{540}{540}} = \sqrt{1} = 1$

したがって、$k$ の値は $15, 60, 135, 540$ の4つです。

3. 最終的な答え

4個