5桁の整数 $N = a \times 10^4 + b \times 10^3 + c \times 10^2 + d \times 10 + e$ について、各桁の数が0以上9以下の整数 ($a \neq 0$) であるという条件の下で、以下の条件を満たすものが何通りあるかを求める問題です。 (1) $a > b > c > d > e$ (2) $a \ge b \ge c \ge d \ge e$ (3) $a < b < c, c > d > e$

1. 問題の内容

5桁の整数 $N = a \times 10^4 + b \times 10^3 + c \times 10^2 + d \times 10 + e$ について、各桁の数が0以上9以下の整数 ($a \neq 0$) であるという条件の下で、以下の条件を満たすものが何通りあるかを求める問題です。

(1) $a > b > c > d > e$

(2) $a \ge b \ge c \ge d \ge e$

(3) $a < b < c, c > d > e$

2. 解き方の手順

(1) $a > b > c > d > e$ の場合

$a, b, c, d, e$ は異なる整数で、$a \neq 0$ です。

0から9までの10個の数字から異なる5個の数字を選び、大きい順に $a, b, c, d, e$ に割り当てれば良いです。ただし、$a \neq 0$という条件に注意する必要があります。

まず、0から9までの10個の数字から5個選ぶ組み合わせは ${10 \choose 5} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ 通りあります。

このうち、$a$ が0になるケースは、選んだ5つの数字の中に0が含まれている場合です。そのようなケースは、1から9までの9個の数字から4個を選び、選ばれた5個の数字の中で最小のものが0になる組み合わせの数に等しいです。つまり、${9 \choose 4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通りです。

したがって、$a > b > c > d > e$ を満たす5桁の整数の数は、$252 - 126 = 126$通りです。

(2) $a \ge b \ge c \ge d \ge e$ の場合

$a, b, c, d, e$ は0以上9以下の整数で、$a \neq 0$ です。

これは重複組み合わせの問題です。1から9までの数字から $a$ を選びます。そして、0から9までの数字から $b, c, d, e$ を選びます。$a \ge b \ge c \ge d \ge e$ を満たすように選ぶことを考えます。

1から9までの整数の中から重複を許して5個の数を選ぶ組み合わせの数を考えます。$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = k$ のような式の解の数を考えます。ただし、$x_i \ge 0$とします。この時、解の数は ${k+n-1 \choose n-1}$ です。

この問題の場合は、1から9までの数から重複を許して5つを選ぶので、数字の選び方を決定する方法は、${9+5-1 \choose 5} = {13 \choose 5} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13 \times 11 \times 9 = 1287$ 通りです。

(3) $a < b < c, c > d > e$ の場合

まず、$c$ の値を固定して考えます。$c$ は2以上9以下の整数です。

$c = k$ とすると、$a, b$ は $1 \le a < b < k$ を満たす整数、$d, e$ は $0 \le e < d < k$ を満たす整数です。

$a, b$ の選び方は ${k-1 \choose 2}$ 通り、$d, e$ の選び方は ${k \choose 2}$ 通りです。

したがって、$c = k$ のときの組み合わせの数は ${k-1 \choose 2} {k \choose 2}$ 通りです。

求める組み合わせの数は、$\sum_{k=2}^9 {k-1 \choose 2} {k \choose 2}$ です。

$\sum_{k=2}^9 {k-1 \choose 2} {k \choose 2} = {1 \choose 2}{2 \choose 2} + {2 \choose 2}{3 \choose 2} + {3 \choose 2}{4 \choose 2} + {4 \choose 2}{5 \choose 2} + {5 \choose 2}{6 \choose 2} + {6 \choose 2}{7 \choose 2} + {7 \choose 2}{8 \choose 2} + {8 \choose 2}{9 \choose 2}$

$= 0 + 1 \times 3 + 3 \times 6 + 6 \times 10 + 10 \times 15 + 15 \times 21 + 21 \times 28 + 28 \times 36$

$= 0 + 3 + 18 + 60 + 150 + 315 + 588 + 1008 = 2142$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 1287通り

(3) 2142通り