$a, b$ は整数であり、$a$ を 5 で割ると 3 余り、$b$ を 5 で割ると 4 余る。次の数を 5 で割ったときの余りを求めよ。 (1) $a+b$ (2) $2a+3b$ (3) $ab$ (4) $a^2+b^2$

1. 問題の内容

$a, b$ は整数であり、$a$ を 5 で割ると 3 余り、$b$ を 5 で割ると 4 余る。次の数を 5 で割ったときの余りを求めよ。

(1) $a+b$

(2) $2a+3b$

(3) $ab$

(4) $a^2+b^2$

2. 解き方の手順

$a$ を 5 で割ると 3 余り、$b$ を 5 で割ると 4 余るので、整数 $m, n$ を用いて、

$a = 5m + 3$

$b = 5n + 4$

と表せる。

(1)

$a+b = (5m+3) + (5n+4) = 5m + 5n + 7 = 5(m+n+1) + 2$

よって、$a+b$ を 5 で割った余りは 2。

(2)

$2a+3b = 2(5m+3) + 3(5n+4) = 10m + 6 + 15n + 12 = 10m + 15n + 18 = 5(2m+3n+3) + 3$

よって、$2a+3b$ を 5 で割った余りは 3。

(3)

$ab = (5m+3)(5n+4) = 25mn + 20m + 15n + 12 = 5(5mn+4m+3n+2) + 2$

よって、$ab$ を 5 で割った余りは 2。

(4)

$a^2+b^2 = (5m+3)^2 + (5n+4)^2 = (25m^2 + 30m + 9) + (25n^2 + 40n + 16) = 25m^2 + 30m + 25n^2 + 40n + 25 = 5(5m^2+6m+5n^2+8n+5)$

$a^2 + b^2 = 25m^2 + 30m + 9 + 25n^2 + 40n + 16 = 25m^2 + 30m + 25n^2 + 40n + 25 = 5(5m^2 + 6m + 5n^2 + 8n + 5)$

$a^2 + b^2 = 5k$ ($k$は整数) とおくと、$a^2 + b^2$ は5の倍数であり、5で割ると0余る。

あるいは、余りだけで計算すると、

$a^2 \equiv 3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$

$b^2 \equiv 4^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}$

$a^2+b^2 \equiv 4+1 \equiv 5 \equiv 0 \pmod{5}$

よって、$a^2+b^2$ を 5 で割った余りは 0。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 3

(3) 2

(4) 0