行列 $A$, $B$, $C$ が与えられたとき、以下の行列の積を計算する問題です。 (i) $BA$ (ii) $B^tA$ (Bの転置行列とAの積) (iii) $C^tAB$ (Cの転置行列、A、Bの積)

1. 問題の内容

行列 $A$, $B$, $C$ が与えられたとき、以下の行列の積を計算する問題です。

(i) $BA$

(ii) $B^tA$ (Bの転置行列とAの積)

(iii) $C^tAB$ (Cの転置行列、A、Bの積)

2. 解き方の手順

(i) $BA$ の計算

$B$は3x3行列, $A$は3x2行列なので、$BA$ は3x2行列になります。

$BA = \begin{bmatrix} -2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-2)(2)+(3)(-1)+(-1)(3) & (-2)(1)+(3)(4)+(-1)(-2) \\ (3)(2)+(5)(-1)+(2)(3) & (3)(1)+(5)(4)+(2)(-2) \\ (1)(2)+(4)(-1)+(3)(3) & (1)(1)+(4)(4)+(3)(-2) \end{bmatrix}$

$BA = \begin{bmatrix} -4-3-3 & -2+12+2 \\ 6-5+6 & 3+20-4 \\ 2-4+9 & 1+16-6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 12 \\ 7 & 19 \\ 7 & 11 \end{bmatrix}$

(ii) $B^tA$ の計算

$B^t$は$B$の転置行列であり、$B^t = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 4 \\ -1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ となります。

$B^t$は3x3行列, $A$は3x2行列なので、$B^tA$ は3x2行列になります。

$B^tA = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 4 \\ -1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-2)(2)+(3)(-1)+(1)(3) & (-2)(1)+(3)(4)+(1)(-2) \\ (3)(2)+(5)(-1)+(4)(3) & (3)(1)+(5)(4)+(4)(-2) \\ (-1)(2)+(2)(-1)+(3)(3) & (-1)(1)+(2)(4)+(3)(-2) \end{bmatrix}$

$B^tA = \begin{bmatrix} -4-3+3 & -2+12-2 \\ 6-5+12 & 3+20-8 \\ -2-2+9 & -1+8-6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 8 \\ 13 & 15 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$

(iii) $C^tAB$ の計算

まず$AB$を計算します。

$A$は3x2行列, $B$は3x3行列なので、この積は定義されません。画像が間違っています。

問題文を$C^tB^tA$と解釈して計算します。

$C^t = \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$

$C^tB^tA = C^t(B^tA)$ で計算します。

$B^tA = \begin{bmatrix} -4 & 8 \\ 13 & 15 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$ をすでに計算しています。

$C^t$は2x2行列, $B^tA$は3x2行列なので、これも計算できません。

問題文の$C^tAB$は計算できないので、解なしとします。

3. 最終的な答え

(i) $BA = \begin{bmatrix} -10 & 12 \\ 7 & 19 \\ 7 & 11 \end{bmatrix}$

(ii) $B^tA = \begin{bmatrix} -4 & 8 \\ 13 & 15 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$

(iii) 計算不可能