与えられた行列 $A$ に対して、固有多項式 $g_A(t)$ と固有値を求める問題です。ここでは、問題 (1) と (2) を解きます。 (1) $A = \begin{bmatrix} -3 & -2 & -2 \\ 4 & 3 & 2 \\ 8 & 4 & 5 \end{bmatrix}$ (2) $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ に対して、固有多項式 $g_A(t)$ と固有値を求める問題です。ここでは、問題 (1) と (2) を解きます。

(1) $A = \begin{bmatrix} -3 & -2 & -2 \\ 4 & 3 & 2 \\ 8 & 4 & 5 \end{bmatrix}$

(2) $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

固有多項式は、行列 $(A - tI)$ の行列式を計算することで得られます。ここで、$I$ は単位行列、$t$ は変数です。

固有値は、固有多項式 $g_A(t) = 0$ の解として求められます。

(1)

$A - tI = \begin{bmatrix} -3-t & -2 & -2 \\ 4 & 3-t & 2 \\ 8 & 4 & 5-t \end{bmatrix}$

$g_A(t) = det(A - tI) = (-3-t)((3-t)(5-t) - 8) + 2(4(5-t) - 16) - 2(16 - 8(3-t))$

$= (-3-t)(15 - 8t + t^2 - 8) + 2(20 - 4t - 16) - 2(16 - 24 + 8t)$

$= (-3-t)(t^2 - 8t + 7) + 2(4 - 4t) - 2(-8 + 8t)$

$= -3t^2 + 24t - 21 - t^3 + 8t^2 - 7t + 8 - 8t + 16 - 16t$

$= -t^3 + 5t^2 - 7t + 3$

$= -(t-1)^2(t-3)$

$g_A(t) = 0$ より、固有値は $t = 1$ (重複度 2), $t = 3$。

(2)

$A - tI = \begin{bmatrix} -t & 0 & -1 \\ 0 & 1-t & 0 \\ 1 & 0 & -t \end{bmatrix}$

$g_A(t) = det(A - tI) = -t((1-t)(-t) - 0) - 0 + (-1)(0 - (1-t))$

$= -t(-t + t^2) + (1-t)$

$= t^2 - t^3 + 1 - t$

$= -t^3 + t^2 - t + 1$

$= -(t-1)(t^2+1)$

$g_A(t) = 0$ より、固有値は $t = 1, i, -i$。

3. 最終的な答え

(1)

固有多項式: $g_A(t) = -(t-1)^2(t-3)$

固有値: $t = 1$ (重複度 2), $t = 3$

(2)

固有多項式: $g_A(t) = -(t-1)(t^2+1)$

固有値: $t = 1, i, -i$