一般項 $a_n = 3n + 2$ である数列 $\{a_n\}$ から、偶数番目の項を取り出した数列 $\{p_n\}$ を考える。 (1) 数列 $\{p_n\}$ が等差数列であることを示す。 (2) 数列 $\{p_n\}$ の初項と公差を求める。

1. 問題の内容

一般項 $a_n = 3n + 2$ である数列 $\{a_n\}$ から、偶数番目の項を取り出した数列 $\{p_n\}$ を考える。

(1) 数列 $\{p_n\}$ が等差数列であることを示す。

(2) 数列 $\{p_n\}$ の初項と公差を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{p_n\}$ の一般項を求める。

数列 $\{p_n\}$ は、数列 $\{a_n\}$ の偶数番目の項を取り出したものなので、$p_n = a_{2n}$ となる。

よって、$p_n = 3(2n) + 2 = 6n + 2$ である。

(2) 数列 $\{p_n\}$ が等差数列であることを示す。

$p_{n+1} - p_n$ が定数であることを示せばよい。

$p_{n+1} = 6(n+1) + 2 = 6n + 6 + 2 = 6n + 8$

$p_{n+1} - p_n = (6n + 8) - (6n + 2) = 6$

これは定数なので、数列 $\{p_n\}$ は等差数列である。

(3) 数列 $\{p_n\}$ の初項を求める。

$p_1 = a_2 = 3(2) + 2 = 6 + 2 = 8$

(4) 数列 $\{p_n\}$ の公差を求める。

$p_{n+1} - p_n = 6$ であるから、公差は 6 である。

3. 最終的な答え

数列 $\{p_n\}$ は等差数列である。

数列 $\{p_n\}$ の初項は 8 であり、公差は 6 である。