与えられた各組の整式について、最大公約数（GCD）と最小公倍数（LCM）を求める。 (1) $4ab^3, 2a^2bc, 6a^3b^2c^2$ (2) $x(x-1), (x-1)^2$ (3) $x^2+x-2, x^4+2x^2-3$ (4) $x^2+2x, x^2+x-2, x^2+4x+4$

1. 問題の内容

与えられた各組の整式について、最大公約数（GCD）と最小公倍数（LCM）を求める。

(1) $4ab^3, 2a^2bc, 6a^3b^2c^2$

(2) $x(x-1), (x-1)^2$

(3) $x^2+x-2, x^4+2x^2-3$

(4) $x^2+2x, x^2+x-2, x^2+4x+4$

2. 解き方の手順

各組の整式に対して、以下の手順で最大公約数と最小公倍数を求める。

(1) $4ab^3, 2a^2bc, 6a^3b^2c^2$の場合：

係数の最大公約数は $gcd(4, 2, 6) = 2$

$a$ の最小次数は $a^1$

$b$ の最小次数は $b^1$

$c$ の最小次数は $c^1$

最大公約数: $2ab c$

係数の最小公倍数は $lcm(4, 2, 6) = 12$

$a$ の最大次数は $a^3$

$b$ の最大次数は $b^3$

$c$ の最大次数は $c^2$

最小公倍数: $12a^3b^3c^2$

(2) $x(x-1), (x-1)^2$ の場合：

最大公約数: $x-1$

最小公倍数: $x(x-1)^2$

(3) $x^2+x-2, x^4+2x^2-3$ の場合：

$x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$

$x^4+2x^2-3 = (x^2+3)(x^2-1) = (x^2+3)(x+1)(x-1)$

最大公約数: $(x-1)$

最小公倍数: $(x+2)(x-1)(x^2+3)(x+1) = (x-1)(x+1)(x+2)(x^2+3)$

(4) $x^2+2x, x^2+x-2, x^2+4x+4$ の場合：

$x^2+2x = x(x+2)$

$x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$

$x^2+4x+4 = (x+2)^2$

最大公約数: $(x+2)$

最小公倍数: $x(x-1)(x+2)^2$

3. 最終的な答え

(1) 最大公約数: $2abc$, 最小公倍数: $12a^3b^3c^2$

(2) 最大公約数: $x-1$, 最小公倍数: $x(x-1)^2$

(3) 最大公約数: $x-1$, 最小公倍数: $(x-1)(x+1)(x+2)(x^2+3)$

(4) 最大公約数: $x+2$, 最小公倍数: $x(x-1)(x+2)^2$