ある整式を $x^2 + 1$ で割ると、商が $x^2 - 2x + 3$ で、余りが $x + 1$ である。この整式を $x^2 - x + 2$ で割ったときの商と余りを求めよ。

1. 問題の内容

ある整式を $x^2 + 1$ で割ると、商が $x^2 - 2x + 3$ で、余りが $x + 1$ である。この整式を $x^2 - x + 2$ で割ったときの商と余りを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、ある整式を $P(x)$ とすると、割り算の式から、

$P(x) = (x^2 + 1)(x^2 - 2x + 3) + (x + 1)$

と表せる。

これを展開して整理すると、

$P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 + x^2 - 2x + 3 + x + 1$

$P(x) = x^4 - 2x^3 + 4x^2 - x + 4$

となる。

次に、この $P(x)$ を $x^2 - x + 2$ で割る。

筆算を行うと、以下のようになる。

```

x^2 - x + 2

x^2 - x + 2 | x^4 - 2x^3 + 4x^2 - x + 4

x^4 - x^3 + 2x^2

-------------------

-x^3 + 2x^2 - x

-x^3 + x^2 - 2x

-------------------

x^2 + x + 4

x^2 - x + 2

-------------------

2x + 2

```

したがって、$P(x)$ を $x^2 - x + 2$ で割ったときの商は $x^2 - x + 1$ であり、余りは $2x + 2$ である。

3. 最終的な答え

商: $x^2 - x + 1$

余り: $2x + 2$