数列 $\{a_n\}$ は、$a_1 = -1$ と漸化式 $2a_{n+1} = -4a_n + 3$ を満たす。このとき、$a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は、$a_1 = -1$ と漸化式 $2a_{n+1} = -4a_n + 3$ を満たす。このとき、$a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を変形します。

$2a_{n+1} = -4a_n + 3$ より、

$a_{n+1} = -2a_n + \frac{3}{2}$

次に、特性方程式 $x = -2x + \frac{3}{2}$ を解きます。

$3x = \frac{3}{2}$

$x = \frac{1}{2}$

したがって、漸化式は次のように変形できます。

$a_{n+1} - \frac{1}{2} = -2(a_n - \frac{1}{2})$

数列 $\{a_n - \frac{1}{2}\}$ は、初項 $a_1 - \frac{1}{2} = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$、公比 $-2$ の等比数列です。

よって、

$a_n - \frac{1}{2} = (-\frac{3}{2})(-2)^{n-1}$

$a_n = (-\frac{3}{2})(-2)^{n-1} + \frac{1}{2}$

$a_n = 3(-\frac{1}{2})(-2)^{n-1} + \frac{1}{2}$

$a_n = 3(-2)^{-1}(-2)^{n-1} + \frac{1}{2}$

$a_n = 3(-2)^{n-2} + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$a_n = 3(-2)^{n-2} + \frac{1}{2}$

選択肢１が正解です。