ある商品の価格が、各時刻において、次の1秒後に確率 $1/3$ で $1/x$ 倍、1倍、$x$倍（ただし、$x > 1$）になると仮定します。ある時刻 $t$ 秒における価格が $P$ であるとき、時刻 $t+2$ 秒においてとりうる価格は何通りあるかと、確率が最大となる価格とその確率の組を求めます。

1. 問題の内容

ある商品の価格が、各時刻において、次の1秒後に確率 $1/3$ で $1/x$ 倍、1倍、$x$倍（ただし、$x > 1$）になると仮定します。ある時刻 $t$ 秒における価格が $P$ であるとき、時刻 $t+2$ 秒においてとりうる価格は何通りあるかと、確率が最大となる価格とその確率の組を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 時刻 $t$ に価格が $P$ であるとき、時刻 $t+1$ の価格は $P/x$, $P$, $Px$ のいずれかです。さらに、時刻 $t+2$ の価格は、それぞれの価格から $1/x$ 倍、1倍、$x$ 倍のいずれかになるため、以下のようになります。

* 時刻 $t+1$ の価格が $P/x$ の場合：時刻 $t+2$ の価格は $P/x^2$, $P/x$, $P$

* 時刻 $t+1$ の価格が $P$ の場合：時刻 $t+2$ の価格は $P/x$, $P$, $Px$

* 時刻 $t+1$ の価格が $Px$ の場合：時刻 $t+2$ の価格は $P$, $Px$, $Px^2$

したがって、時刻 $t+2$ の価格としてあり得るものは、$P/x^2$, $P/x$, $P$, $Px$, $Px^2$ の5種類です。

(2) 時刻 $t+2$ における価格の確率を求めます。

まず、各価格に到達する経路とその確率を考えます。

* $P/x^2$: $(1/x, 1/x)$ の経路のみ。確率: $(1/3) \times (1/3) = 1/9$

* $P/x$: $(1/x, 1)$または$(1, 1/x)$ の経路。確率: $(1/3) \times (1/3) + (1/3) \times (1/3) = 2/9$

* $P$: $(1/x, x)$または$(1, 1)$または$(x, 1/x)$ の経路。確率: $(1/3) \times (1/3) + (1/3) \times (1/3) + (1/3) \times (1/3) = 3/9 = 1/3$

* $Px$: $(1, x)$または$(x, 1)$ の経路。確率: $(1/3) \times (1/3) + (1/3) \times (1/3) = 2/9$

* $Px^2$: $(x, x)$ の経路のみ。確率: $(1/3) \times (1/3) = 1/9$

確率が最大となるのは価格が $P$ のときで、その確率は $1/3$ です。したがって、求める価格と確率の組は $(P, 1/3)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 時刻 $t+2$ 秒において、とりうる価格は $\underline{5通り}$。

(2) 確率が最大となる価格と確率の組は $(\underline{P}, \underline{1/3})$。