2個のサイコロを同時に投げたとき、 * 事象A: 出る目の積が奇数になる * 事象B: 出る目の積が5の倍数になる * 事象C: 出る目の積が12の倍数になる とする。 (1) 事象A∩B の要素を全て書き出す (2) 確率 $P(A \cap B)$ を求める (3) 確率 $P(A \cup C)$ を求める (4) 確率 $P(A \cup B)$ を求める

1. 問題の内容

2個のサイコロを同時に投げたとき、

* 事象A: 出る目の積が奇数になる

* 事象B: 出る目の積が5の倍数になる

* 事象C: 出る目の積が12の倍数になる

とする。

(1) 事象A∩B の要素を全て書き出す

(2) 確率 $P(A \cap B)$ を求める

(3) 確率 $P(A \cup C)$ を求める

(4) 確率 $P(A \cup B)$ を求める

2. 解き方の手順

(1) 事象A: 出る目の積が奇数になるのは、両方のサイコロの目が奇数の時のみである。つまり、(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5) の9通り。

事象B: 出る目の積が5の倍数になるのは、少なくとも一方のサイコロの目が5の時である。つまり、(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6) の11通り。

事象A∩B: 事象Aと事象Bの両方が起こるのは、両方の目が奇数で、かつ少なくとも一方が5の時である。つまり、(1,5), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5) の5通り。

(2) 2個のサイコロを投げた時の目の出方の総数は $6 \times 6 = 36$ 通り。

$P(A \cap B)$ は、事象A∩Bの起こる確率なので、事象A∩Bの要素数/全事象数で求める。

$P(A \cap B) = \frac{5}{36}$

(3) 事象C: 出る目の積が12の倍数になるのは、(2,6), (3,4), (4,3), (6,2), (4,6), (6,4)の6通り。

事象 $A \cup C$: 事象Aまたは事象Cが起こる確率。

$P(A \cup C) = P(A) + P(C) - P(A \cap C)$

事象A: 出る目の積が奇数になるのは、両方とも奇数。(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)の9通り。

$P(A) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

事象C: 出る目の積が12の倍数になるのは、(2,6), (3,4), (4,3), (6,2), (4,6), (6,4)の6通り。

$P(C) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

事象 $A \cap C$: 事象Aかつ事象Cが起こることはないので、積が奇数で12の倍数になることはない。よって$P(A \cap C)=0$

$P(A \cup C) = P(A) + P(C) - P(A \cap C) = \frac{9}{36} + \frac{6}{36} - 0 = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

(4) $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

事象A: 出る目の積が奇数になるのは、両方とも奇数。(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)の9通り。

$P(A) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

事象B: 出る目の積が5の倍数になるのは、(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6)の11通り。

$P(B) = \frac{11}{36}$

$P(A \cap B) = \frac{5}{36}$ (上記より)

$P(A \cup B) = \frac{9}{36} + \frac{11}{36} - \frac{5}{36} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

3. 最終的な答え

(1) A∩B = {(1,5), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)}

(2) $P(A \cap B) = \frac{5}{36}$

(3) $P(A \cup C) = \frac{5}{12}$

(4) $P(A \cup B) = \frac{5}{12}$