大量のパイナップルを集荷している。例年の平均は1個あたり500gで、母標準偏差は80gである。今年、パイナップル31個を無作為抽出し測定すると、平均が550gであった。パイナップルの重さは例年より重いと言えるかどうかを、有意水準5%で仮説検定する。

1. 問題の内容

大量のパイナップルを集荷している。例年の平均は1個あたり500gで、母標準偏差は80gである。今年、パイナップル31個を無作為抽出し測定すると、平均が550gであった。パイナップルの重さは例年より重いと言えるかどうかを、有意水準5%で仮説検定する。

2. 解き方の手順

(1) 帰無仮説と対立仮説を設定する。

* 帰無仮説 $H_0$: 今年のパイナップルの平均重量は例年と変わらない (μ = 500g)。

* 対立仮説 $H_1$: 今年のパイナップルの平均重量は例年より重い (μ > 500g)。

(2) 検定統計量を計算する。

母標準偏差が既知であり、サンプルサイズが大きい（n = 31）ので、z検定を用いる。

検定統計量zは以下の式で計算される。

$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

ここで、

* $\bar{x}$: サンプル平均 = 550g

* $\mu_0$: 帰無仮説における母平均 = 500g

* $\sigma$: 母標準偏差 = 80g

* $n$: サンプルサイズ = 31

値を代入して計算する。

$z = \frac{550 - 500}{\frac{80}{\sqrt{31}}} = \frac{50}{\frac{80}{\sqrt{31}}} = \frac{50\sqrt{31}}{80} = \frac{5\sqrt{31}}{8} \approx \frac{5 \times 5.568}{8} \approx \frac{27.84}{8} \approx 3.48$

(3) 有意水準と比較する。

有意水準は5% (0.05)である。片側検定を行うため、z値に対応するp値を求める必要がある。

z = 3.48の場合、標準正規分布表からp値は約0.00025となる。

または、z値3.48に対応する臨界値(α=0.05の片側検定)は1.645である。

(4) 結論を出す。

p値(0.00025)は有意水準(0.05)よりも小さい。

または、計算されたz値(3.48)は臨界値(1.645)よりも大きい。

したがって、帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択する。

3. 最終的な答え

パイナップルの重さは例年より重いと言える。