郵送によるアンケート調査を行う際に、標本誤差を2%以内に抑えたい。返信率が70%と見積もられる場合、何件の調査票を発送する必要があるかを計算する。

1. 問題の内容

郵送によるアンケート調査を行う際に、標本誤差を2%以内に抑えたい。返信率が70%と見積もられる場合、何件の調査票を発送する必要があるかを計算する。

2. 解き方の手順

まず、必要な回答数を計算します。標本誤差の公式は以下の通りです。

$誤差 = z \times \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

ここで、$誤差$は標本誤差、$z$はZ値、$p$は推定される割合、$n$はサンプルサイズです。

標本誤差2%（0.02）なので、$誤差 = 0.02$です。返信率が70%（0.7）なので、$p = 0.7$とします。$z$値は、信頼度によって異なります。通常、95%の信頼度を使うことが多いので、$z = 1.96$とします。

$0.02 = 1.96 \times \sqrt{\frac{0.7 \times (1 - 0.7)}{n}}$

$0.02 = 1.96 \times \sqrt{\frac{0.7 \times 0.3}{n}}$

$0.02 = 1.96 \times \sqrt{\frac{0.21}{n}}$

両辺を1.96で割ります。

$\frac{0.02}{1.96} = \sqrt{\frac{0.21}{n}}$

$0.010204 = \sqrt{\frac{0.21}{n}}$

両辺を2乗します。

$(0.010204)^2 = \frac{0.21}{n}$

$0.00010412 = \frac{0.21}{n}$

$n = \frac{0.21}{0.00010412}$

$n \approx 2016.86$

したがって、必要な回答数は約2017件です。

返信率は70%なので、発送する必要のある調査票の数を$x$とすると、以下の式が成り立ちます。

$0.7x = 2017$

$x = \frac{2017}{0.7}$

$x \approx 2881.43$

したがって、約2882件の調査票を発送する必要があります。

3. 最終的な答え

約2882件の調査票を発送すべきです。