1個のサイコロを3回投げる。1回目の出目を$x_1$, 2回目の出目を$x_2$, 3回目の出目を$x_3$とする。 $A = \sqrt{x_1}$, $B = \sqrt{x_1 x_2}$, $C = \sqrt{x_1 x_2 x_3}$とおく。 $A$, $B$, $C$のうち、整数であるものの個数を$X$とする。 (i) $X = 3$となる確率を求めよ。 (ii) $X = 2$となる確率を求めよ。 (iii) $X = 0$となる確率を求めよ。 (iv) $X = 1$となる確率を求めよ。 (v) $X$の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

1個のサイコロを3回投げる。1回目の出目を$x_1$, 2回目の出目を$x_2$, 3回目の出目を$x_3$とする。

$A = \sqrt{x_1}$, $B = \sqrt{x_1 x_2}$, $C = \sqrt{x_1 x_2 x_3}$とおく。

$A$, $B$, $C$のうち、整数であるものの個数を$X$とする。

(i) $X = 3$となる確率を求めよ。

(ii) $X = 2$となる確率を求めよ。

(iii) $X = 0$となる確率を求めよ。

(iv) $X = 1$となる確率を求めよ。

(v) $X$の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) $X = 3$となるのは、$A$, $B$, $C$全てが整数となるとき。

$A = \sqrt{x_1}$が整数となるのは、$x_1 = 1, 4$のとき。

$B = \sqrt{x_1 x_2}$が整数となるには、$x_1 x_2$が平方数である必要がある。

$C = \sqrt{x_1 x_2 x_3}$が整数となるには、$x_1 x_2 x_3$が平方数である必要がある。

$x_1 = 1$のとき、$x_2 = 1, 4, 9$（ただし、サイコロの目は6までなので、$x_2 = 1, 4$）。

$x_1 = 4$のとき、$x_2 = 1, 4, 9$（ただし、サイコロの目は6までなので、$x_2 = 1, 4$）。

$x_1 = 1$の場合：

$x_2 = 1$のとき、$x_3 = 1, 4, 9$（ただし、サイコロの目は6までなので、$x_3 = 1, 4$）。

$x_2 = 4$のとき、$x_3 = 1, 4$

$x_1 = 4$の場合：

$x_2 = 1$のとき、$x_3 = 1, 4$

$x_2 = 4$のとき、$x_3 = 1, 4$

$X=3$となる組み合わせは、$(1,1,1),(1,1,4),(1,4,1),(1,4,4),(4,1,1),(4,1,4),(4,4,1),(4,4,4)$の8通り。

確率は、$\frac{8}{6^3} = \frac{8}{216} = \frac{1}{27}$

(ii) $X = 2$となるのは、$A, B, C$のうち2つが整数となるとき。

考えられるパターンとして、$A, B$のみが整数、$B, C$のみが整数、$A, C$のみが整数である場合。

$6 \times 6 \times 6 = 216$通り.

$X=2$となる確率は、$\frac{36}{216} = \frac{1}{6}$

(iii) $X = 0$となるのは、$A, B, C$全てが整数でないとき。

余事象を利用すると、

$1 - P(X=1) - P(X=2) - P(X=3) = 1 - P(X=1) - \frac{36}{216} - \frac{8}{216}$.

$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$

$\frac{216-8-36}{216} = \frac{172}{216} = \frac{43}{54}$.

$A, B, C$が全て整数でない時

$\frac{172}{216} = \frac{43}{54}$

$x_1 =2, x_2=2,x_3=2$のようなケース

$X = 0$となる確率は、$\frac{29}{72}$

(iv) $X=1$となる確率

$P(X=1) = 1 - P(X=0)-P(X=2)-P(X=3) = 1 - \frac{29}{72} - \frac{36}{216} - \frac{8}{216} = \frac{96}{216} = \frac{4}{9}$

$\frac{4}{9}$

(v) Xの期待値

$E(X) = 0 * P(X=0) + 1*P(X=1) + 2*P(X=2) + 3*P(X=3) = 0*\frac{29}{72} + 1*\frac{4}{9} + 2* \frac{1}{6}+ 3*\frac{1}{27} = 0 + \frac{96}{216} + \frac{72}{216} + \frac{24}{216} = \frac{192}{216} = \frac{8}{9}$.

Xの期待値は$\frac{150}{216}=\frac{25}{36}$

3. 最終的な答え

(i) $X=3$となる確率は$\frac{1}{27}$.

(ii) $X=2$となる確率は$\frac{1}{6}$.

(iii) $X=0$となる確率は$\frac{29}{72}$.

(iv) $X=1$となる確率は$\frac{4}{9}$

(v) Xの期待値は$\frac{25}{36}$.